Номер 14.26, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.26. При свободном падении в первую секунду тело проходит путь длиной 5,9 м, а в каждую следующую секунду — на 9,8 м больше. Найдите длину пройденного пути свободно падающего тела:

1) за пятую секунду после начала движения;

2) за пять секунд после начала движения;

3) за седьмую секунду после начала движения;

4) за семь секунд после начала движения.

Данная задача описывает движение, при котором путь, пройденный за каждый последовательный промежуток времени (в данном случае, за каждую секунду), увеличивается на одну и ту же величину. Такая последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

Обозначим путь, пройденный телом за n-ю секунду, как $a_n$.

Из условия задачи нам известны:
Первый член прогрессии (путь за первую секунду): $a_1 = 5,9$ м.
Разность прогрессии (величина, на которую увеличивается путь каждую секунду): $d = 9,8$ м.

Для решения будем использовать формулы арифметической прогрессии:
- Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Эта формула позволяет найти расстояние, пройденное за конкретную, n-ю секунду.
- Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$. Эта формула позволяет найти общее расстояние, пройденное за n секунд.

Требуется найти путь, пройденный телом именно в течение пятой секунды. Это соответствует пятому члену арифметической прогрессии, $a_5$.
Используем формулу n-го члена при $n=5$:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = 5,9 + 4 \cdot 9,8 = 5,9 + 39,2 = 45,1$ м.
Ответ: 45,1 м.

Требуется найти общий путь, пройденный телом за все пять секунд с начала движения. Это соответствует сумме первых пяти членов прогрессии, $S_5$.
Используем формулу суммы при $n=5$:
$S_5 = \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 5,9 + 4 \cdot 9,8}{2} \cdot 5 = \frac{11,8 + 39,2}{2} \cdot 5 = \frac{51}{2} \cdot 5 = 25,5 \cdot 5 = 127,5$ м.
Ответ: 127,5 м.

Требуется найти путь, пройденный телом именно в течение седьмой секунды. Это соответствует седьмому члену арифметической прогрессии, $a_7$.
Используем формулу n-го члена при $n=7$:
$a_7 = a_1 + (7-1)d = 5,9 + 6 \cdot 9,8 = 5,9 + 58,8 = 64,7$ м.
Ответ: 64,7 м.

Требуется найти общий путь, пройденный телом за все семь секунд с начала движения. Это соответствует сумме первых семи членов прогрессии, $S_7$.
Используем формулу суммы при $n=7$:
$S_7 = \frac{2a_1 + (7-1)d}{2} \cdot 7 = \frac{2 \cdot 5,9 + 6 \cdot 9,8}{2} \cdot 7 = \frac{11,8 + 58,8}{2} \cdot 7 = \frac{70,6}{2} \cdot 7 = 35,3 \cdot 7 = 247,1$ м.
Ответ: 247,1 м.