Номер 14.12, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.12. Найдите $a_1$ и $n$, если:

1) $d=3, a_n=59, S_n=603;$
2) $d=-5, a_n=-8, S_n=30;$
3) $d=2, a_n=49, S_n=702;$
4) $d=-7, a_n=-18, S_n=-20.$

1) Для решения задачи воспользуемся формулами n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Из первой формулы выразим $a_1$:
$a_1 = a_n - (n-1)d$
Подставим это выражение во вторую формулу:
$S_n = \frac{(a_n - (n-1)d) + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_n - (n-1)d}{2} \cdot n$
Подставим известные значения $d=3$, $a_n=59$, $S_n=603$ в полученное уравнение:
$603 = \frac{2 \cdot 59 - (n-1) \cdot 3}{2} \cdot n$
$1206 = (118 - 3n + 3) \cdot n$
$1206 = (121 - 3n) \cdot n$
$1206 = 121n - 3n^2$
Получаем квадратное уравнение относительно $n$:
$3n^2 - 121n + 1206 = 0$
Решим его. Дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-121)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1206 = 14641 - 14472 = 169 = 13^2$
Найдем корни:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{121 \pm 13}{2 \cdot 3}$
$n_1 = \frac{121 + 13}{6} = \frac{134}{6} = \frac{67}{3}$
$n_2 = \frac{121 - 13}{6} = \frac{108}{6} = 18$
Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только $n = 18$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = a_n - (n-1)d = 59 - (18-1) \cdot 3 = 59 - 17 \cdot 3 = 59 - 51 = 8$
Ответ: $a_1 = 8, n = 18$.

2) Используя ту же систему уравнений, подставим известные значения $d=-5$, $a_n=-8$, $S_n=30$:
$S_n = \frac{2a_n - (n-1)d}{2} \cdot n$
$30 = \frac{2 \cdot (-8) - (n-1) \cdot (-5)}{2} \cdot n$
$60 = (-16 - (-5n + 5)) \cdot n$
$60 = (-16 + 5n - 5) \cdot n$
$60 = (5n - 21) \cdot n$
$5n^2 - 21n - 60 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-60) = 441 + 1200 = 1641$
Поскольку $\sqrt{1641}$ не является целым числом, корни уравнения $n = \frac{21 \pm \sqrt{1641}}{10}$ не будут натуральными числами. Количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом. Следовательно, арифметической прогрессии с заданными параметрами не существует.
Ответ: решений нет.

3) Подставим известные значения $d=2$, $a_n=49$, $S_n=702$ в уравнение, связывающее эти величины:
$S_n = \frac{2a_n - (n-1)d}{2} \cdot n$
$702 = \frac{2 \cdot 49 - (n-1) \cdot 2}{2} \cdot n$
$702 = \frac{98 - 2n + 2}{2} \cdot n$
$702 = \frac{100 - 2n}{2} \cdot n$
$702 = (50 - n) \cdot n$
$n^2 - 50n + 702 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 702 = 2500 - 2808 = -308$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого уравнения нет действительных корней. Следовательно, не существует и натурального числа $n$, удовлетворяющего условию. Таким образом, арифметической прогрессии с заданными параметрами не существует.
Ответ: решений нет.

4) Подставим известные значения $d=-7$, $a_n=-18$, $S_n=-20$ в выведенную ранее формулу:
$S_n = \frac{2a_n - (n-1)d}{2} \cdot n$
$-20 = \frac{2 \cdot (-18) - (n-1) \cdot (-7)}{2} \cdot n$
$-40 = (-36 - (-7n + 7)) \cdot n$
$-40 = (-36 + 7n - 7) \cdot n$
$-40 = (7n - 43) \cdot n$
$7n^2 - 43n + 40 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-43)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 40 = 1849 - 1120 = 729 = 27^2$
Найдем корни:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{43 \pm 27}{2 \cdot 7}$
$n_1 = \frac{43 + 27}{14} = \frac{70}{14} = 5$
$n_2 = \frac{43 - 27}{14} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$
Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только $n = 5$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = a_n - (n-1)d = -18 - (5-1) \cdot (-7) = -18 - 4 \cdot (-7) = -18 - (-28) = -18 + 28 = 10$
Ответ: $a_1 = 10, n = 5$.