Номер 14.4, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.4. Найдите n, если:

1) $a_1 = 25, d = -2, S_n = 168;$

2) $a_1 = 5, d = 2, S_n = 192;$

3) $a_1 = -12,5, d = 3, S_n = 195,5;$

4) $a_1 = -2,4, d = -0,8, S_n = -70,4.$

1) Для нахождения $n$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $a_1 = 25$, $d = -2$, $S_n = 168$ в формулу:

$168 = \frac{2 \cdot 25 + (-2)(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение:

$168 = \frac{50 - 2n + 2}{2} \cdot n$

$168 = \frac{52 - 2n}{2} \cdot n$

$168 = (26 - n)n$

$168 = 26n - n^2$

Получаем квадратное уравнение:

$n^2 - 26n + 168 = 0$

Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 676 - 672 = 4$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{26 + 2}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{26 - 2}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Оба корня являются натуральными числами, поэтому оба являются решением задачи. Это возможно, так как прогрессия убывающая и сумма членов с 13-го по 14-й равна нулю ($a_{13} = 1$, $a_{14} = -1$).

Ответ: $n = 12$ или $n = 14$.

2) Используем ту же формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ с данными $a_1 = 5$, $d = 2$, $S_n = 192$.

Подставляем значения:

$192 = \frac{2 \cdot 5 + 2(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим:

$192 = \frac{10 + 2n - 2}{2} \cdot n$

$192 = \frac{8 + 2n}{2} \cdot n$

$192 = (4 + n)n$

$192 = 4n + n^2$

Запишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$n^2 + 4n - 192 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку число членов прогрессии $n$ не может быть отрицательным, корень $n_2 = -16$ не является решением задачи.

Ответ: $n = 12$.

3) Используем формулу $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ с данными $a_1 = -12,5$, $d = 3$, $S_n = 195,5$.

Подставляем значения:

$195,5 = \frac{2 \cdot (-12,5) + 3(n-1)}{2} \cdot n$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$391 = (-25 + 3(n-1)) \cdot n$

$391 = (-25 + 3n - 3) \cdot n$

$391 = (3n - 28)n$

$391 = 3n^2 - 28n$

Приводим к стандартному виду:

$3n^2 - 28n - 391 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-391) = 784 + 4692 = 5476$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 + \sqrt{5476}}{2 \cdot 3} = \frac{28 + 74}{6} = \frac{102}{6} = 17$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 - \sqrt{5476}}{2 \cdot 3} = \frac{28 - 74}{6} = \frac{-46}{6} = -\frac{23}{3}$

Число членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, поэтому корень $n_2 = -23/3$ не подходит.

Ответ: $n = 17$.

4) Используем формулу $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ с данными $a_1 = -2,4$, $d = -0,8$, $S_n = -70,4$.

Подставляем значения:

$-70,4 = \frac{2 \cdot (-2,4) + (-0,8)(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе:

$-70,4 = \frac{-4,8 - 0,8n + 0,8}{2} \cdot n$

$-70,4 = \frac{-4 - 0,8n}{2} \cdot n$

$-70,4 = (-2 - 0,4n)n$

$-70,4 = -2n - 0,4n^2$

Умножим обе части на -10, чтобы избавиться от десятичных знаков и отрицательных коэффициентов при $n^2$:

$704 = 20n + 4n^2$

Перепишем в стандартном виде и разделим на 4:

$4n^2 + 20n - 704 = 0$

$n^2 + 5n - 176 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-176) = 25 + 704 = 729$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 27}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 27}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Число членов $n$ должно быть натуральным числом, поэтому корень $n_2 = -16$ не является решением.

Ответ: $n = 11$.