Номер 13.30, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.30. Методом интервалов решите неравенство:

1) $\frac{(x-2)^2 \cdot (x+3)}{x-3} > 0;$

2) $\frac{(x+2)^2 \cdot (x+5)}{x-2} < 0;$

3) $\frac{(x-1)^3 \cdot (x+2)}{(x-3)^2} \ge 0;$

4) $\frac{(x-4)^3 \cdot (x+6)}{(x-1)^2} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x-2)^2 \cdot (x+3)}{x-3} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $(x-2)^2 = 0 \implies x=2$ (корень кратности 2, четная кратность), и $x+3 = 0 \implies x=-3$ (корень кратности 1, нечетная кратность).
Нуль знаменателя: $x-3 = 0 \implies x=3$ (корень кратности 1, нечетная кратность). Точка $x=3$ будет выколотой.

2. Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

3. Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(3; +\infty)$, например $x=4$:
$\frac{(4-2)^2 \cdot (4+3)}{4-3} = \frac{2^2 \cdot 7}{1} = 28 > 0$. Ставим знак «+».
Далее, двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности.
- При переходе через $x=3$ (нечетная кратность) знак меняется на «-».
- При переходе через $x=2$ (четная кратность) знак не меняется и остается «-».
- При переходе через $x=-3$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».

Изобразим это на числовой оси:

4. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (со знаком «+»).
Это интервалы $(-\infty; -3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x+2)^2 \cdot (x+5)}{x-2} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $(x+2)^2 = 0 \implies x=-2$ (корень кратности 2, четная), и $x+5 = 0 \implies x=-5$ (корень кратности 1, нечетная).
Нуль знаменателя: $x-2 = 0 \implies x=2$ (корень кратности 1, нечетная). Точка $x=2$ будет выколотой.

2. Отметим точки -5, -2, 2 на числовой оси. Неравенство строгое, поэтому все точки выколотые.

3. Определим знаки. Возьмем $x=3$ из интервала $(2; +\infty)$:
$\frac{(3+2)^2 \cdot (3+5)}{3-2} = \frac{5^2 \cdot 8}{1} > 0$. Знак «+».
- При переходе через $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется на «-».
- При переходе через $x=-2$ (четная кратность) знак не меняется, остается «-».
- При переходе через $x=-5$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».

Изобразим это на числовой оси:

4. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля (со знаком «-»).
Это интервалы $(-5; -2)$ и $(-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-5; -2) \cup (-2; 2)$.

3) Решим неравенство $\frac{(x-1)^3 \cdot (x+2)}{(x-3)^2} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули.
Нули числителя: $(x-1)^3=0 \implies x=1$ (кратность 3, нечетная), $x+2=0 \implies x=-2$ (кратность 1, нечетная). Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки включаем в решение.
Нуль знаменателя: $(x-3)^2=0 \implies x=3$ (кратность 2, четная). Эту точку всегда исключаем из решения.

2. Отметим точки на оси: -2 (закрашенная), 1 (закрашенная), 3 (выколотая).

3. Определим знаки. Возьмем $x=4$ из интервала $(3; +\infty)$:
$\frac{(4-1)^3 \cdot (4+2)}{(4-3)^2} = \frac{3^3 \cdot 6}{1^2} > 0$. Знак «+».
- При переходе через $x=3$ (четная кратность) знак не меняется, остается «+».
- При переходе через $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на «-».
- При переходе через $x=-2$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».

Изобразим это на числовой оси:

4. Выбираем интервалы со знаком «+» и точки, где выражение равно нулю.
Решением будут интервалы $(-\infty; -2]$ и $[1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; 3) \cup (3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x-4)^3 \cdot (x+6)}{(x-1)^2} \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули.
Нули числителя: $(x-4)^3=0 \implies x=4$ (кратность 3, нечетная), $x+6=0 \implies x=-6$ (кратность 1, нечетная). Точки $x=4$ и $x=-6$ включаем в решение.
Нуль знаменателя: $(x-1)^2=0 \implies x=1$ (кратность 2, четная). Точку $x=1$ исключаем.

2. Отметим точки на оси: -6 (закрашенная), 1 (выколотая), 4 (закрашенная).

3. Определим знаки. Возьмем $x=5$ из интервала $(4; +\infty)$:
$\frac{(5-4)^3 \cdot (5+6)}{(5-1)^2} = \frac{1^3 \cdot 11}{4^2} > 0$. Знак «+».
- При переходе через $x=4$ (нечетная кратность) знак меняется на «-».
- При переходе через $x=1$ (четная кратность) знак не меняется, остается «-».
- При переходе через $x=-6$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».

Изобразим это на числовой оси:

4. Выбираем интервалы со знаком «-» и точки, где выражение равно нулю.
Это интервалы $[-6; 1)$ и $(1; 4]$.

Ответ: $x \in [-6; 1) \cup (1; 4]$.