Номер 13.24, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*13.24. Есть ли в арифметической прогрессии 2,35; 3,1; ... члены, являющиеся целыми числами, не превосходящими число 20? Если есть, то найдите их.

Для ответа на вопрос сначала определим параметры данной арифметической прогрессии $(a_n)$.
Первый член прогрессии: $a_1 = 2,35$.
Второй член прогрессии: $a_2 = 3,1$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 3,1 - 2,35 = 0,75$.
Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения, чтобы получить формулу для данной прогрессии:
$a_n = 2,35 + (n-1) \cdot 0,75$
Упростим это выражение:
$a_n = 2,35 + 0,75n - 0,75$
$a_n = 1,6 + 0,75n$
Теперь нам нужно выяснить, существуют ли такие натуральные номера членов $n$, при которых значение $a_n$ будет целым числом. Обозначим это целое число как $k$, то есть $a_n = k$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $n \in \mathbb{N}$.
Получаем уравнение:
$k = 1,6 + 0,75n$
Чтобы проанализировать это уравнение в целых числах, удобнее работать с обыкновенными дробями:
$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
Подставим эти дроби в уравнение:
$k = \frac{8}{5} + \frac{3}{4}n$
Приведем правую часть к общему знаменателю 20:
$k = \frac{8 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 5 \cdot n}{4 \cdot 5} = \frac{32}{20} + \frac{15n}{20} = \frac{32 + 15n}{20}$
Для того чтобы $k$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $(32 + 15n)$ делился нацело на знаменатель 20.
Рассмотрим, может ли выражение $32 + 15n$ быть кратным 20. Число, кратное 20, должно быть кратно и 10, а значит, его последняя цифра должна быть 0.
Проанализируем последнюю цифру выражения $32 + 15n$:
1. Число 32 оканчивается на 2.
2. Произведение $15n$ для любого натурального $n$ оканчивается либо на 5 (если $n$ нечетное, например, $15 \cdot 1 = 15$), либо на 0 (если $n$ четное, например, $15 \cdot 2 = 30$).
Сложим последние цифры:
- Если последняя цифра $15n$ равна 5, то последняя цифра суммы $32 + 15n$ будет $2 + 5 = 7$.
- Если последняя цифра $15n$ равна 0, то последняя цифра суммы $32 + 15n$ будет $2 + 0 = 2$.
Ни в одном из случаев последняя цифра выражения $32 + 15n$ не равна 0. Следовательно, это выражение не может делиться на 20 ни при каком натуральном $n$.
Таким образом, в данной арифметической прогрессии нет членов, являющихся целыми числами.
Ответ: Нет, в данной арифметической прогрессии нет членов, являющихся целыми числами.