Номер 13.20, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.20. Задана арифметическая прогрессия ($a_n$). Известно, что

$a_8 = \frac{5}{12}$. Найдите значение суммы:

1) $a_7 + a_9$;

2) $a_6 + a_{10}$;

3) $a_5 + a_{11}$;

4) $a_3 + a_{13}$.

Для решения всех пунктов задачи используется основное свойство арифметической прогрессии ($a_n$). Оно заключается в том, что любой член прогрессии является средним арифметическим членов, равноудаленных от него. То есть, для любого целого $k > 0$ (при условии, что соответствующие члены существуют) справедливо равенство:

$a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$

Из этого следует, что сумма равноудаленных членов равна удвоенному среднему члену:

$a_{n-k} + a_{n+k} = 2a_n$

В данной задаче нам известно значение $a_8 = \frac{5}{12}$. Во всех четырех пунктах требуется найти сумму двух членов, для которых $a_8$ является средним членом, так как среднее арифметическое их индексов равно 8.

1) $a_7 + a_9$

Члены $a_7$ и $a_9$ равноудалены от $a_8$, поскольку их индексы 7 и 9 симметричны относительно 8 ($8-1=7$ и $8+1=9$). Используя свойство для $n=8$ и $k=1$, получаем:

$a_7 + a_9 = a_{8-1} + a_{8+1} = 2a_8$

Подставим известное значение $a_8 = \frac{5}{12}$:

$a_7 + a_9 = 2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

2) $a_6 + a_{10}$

Члены $a_6$ и $a_{10}$ равноудалены от $a_8$, так как $8-2=6$ и $8+2=10$. Применяем свойство для $n=8$ и $k=2$:

$a_6 + a_{10} = a_{8-2} + a_{8+2} = 2a_8$

Подставим известное значение $a_8$:

$a_6 + a_{10} = 2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

3) $a_5 + a_{11}$

Члены $a_5$ и $a_{11}$ равноудалены от $a_8$, так как $8-3=5$ и $8+3=11$. Применяем свойство для $n=8$ и $k=3$:

$a_5 + a_{11} = a_{8-3} + a_{8+3} = 2a_8$

Подставим известное значение $a_8$:

$a_5 + a_{11} = 2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

4) $a_3 + a_{13}$

Члены $a_3$ и $a_{13}$ равноудалены от $a_8$, так как $8-5=3$ и $8+5=13$. Применяем свойство для $n=8$ и $k=5$:

$a_3 + a_{13} = a_{8-5} + a_{8+5} = 2a_8$

Подставим известное значение $a_8$:

$a_3 + a_{13} = 2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.