Номер 13.23, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.23. Укажите номера членов арифметической прогрессии, являющихся двузначными числами:

1) 3; 8; ... ;

2) -12; -4; ... ;

3) 156; 135; ... ;

4) 251; 229; ... .

1) Для данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = 3$, а второй $a_2 = 8$. Найдем разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 8 - 3 = 5$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив известные значения, получим: $a_n = 3 + (n-1)5 = 3 + 5n - 5 = 5n - 2$.
Двузначными являются числа от 10 до 99 включительно. Чтобы найти номера $n$ членов прогрессии, которые являются двузначными числами, решим двойное неравенство:
$10 \le a_n \le 99$
$10 \le 5n - 2 \le 99$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$12 \le 5n \le 101$
Разделим все части на 5:
$12/5 \le n \le 101/5$
$2.4 \le n \le 20.2$
Так как номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, то подходящие значения $n$ начинаются с 3 и заканчиваются 20.
Ответ: с 3 по 20.

2) В этой прогрессии первый член $a_1 = -12$, а второй $a_2 = -4$. Разность прогрессии $d$ равна:
$d = a_2 - a_1 = -4 - (-12) = 8$.
Формула n-го члена: $a_n = -12 + (n-1)8 = -12 + 8n - 8 = 8n - 20$.
Найдем номера $n$, для которых член прогрессии является двузначным числом ($10 \le a_n \le 99$):
$10 \le 8n - 20 \le 99$
Прибавим 20 ко всем частям неравенства:
$30 \le 8n \le 119$
Разделим все части на 8:
$30/8 \le n \le 119/8$
$3.75 \le n \le 14.875$
Так как $n$ — натуральное число, подходящие значения $n$ начинаются с 4 и заканчиваются 14.
Ответ: с 4 по 14.

3) Первый член данной прогрессии $a_1 = 156$, второй $a_2 = 135$. Разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 135 - 156 = -21$.
Формула n-го члена: $a_n = 156 + (n-1)(-21) = 156 - 21n + 21 = 177 - 21n$.
Найдем номера $n$, для которых член прогрессии является двузначным ($10 \le a_n \le 99$):
$10 \le 177 - 21n \le 99$
Вычтем 177 из всех частей неравенства:
$10 - 177 \le -21n \le 99 - 177$
$-167 \le -21n \le -78$
Разделим все части на -21, изменив знаки неравенства на противоположные:
$78/21 \le n \le 167/21$
$3.71... \le n \le 7.95...$
Так как $n$ — натуральное число, подходящие значения $n$: 4, 5, 6, 7.
Ответ: 4, 5, 6, 7.

4) Первый член этой прогрессии $a_1 = 251$, второй $a_2 = 229$. Разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 229 - 251 = -22$.
Формула n-го члена: $a_n = 251 + (n-1)(-22) = 251 - 22n + 22 = 273 - 22n$.
Найдем номера $n$, для которых член прогрессии является двузначным ($10 \le a_n \le 99$):
$10 \le 273 - 22n \le 99$
Вычтем 273 из всех частей неравенства:
$10 - 273 \le -22n \le 99 - 273$
$-263 \le -22n \le -174$
Разделим все части на -22, изменив знаки неравенства на противоположные:
$174/22 \le n \le 263/22$
$7.90... \le n \le 11.95...$
Так как $n$ — натуральное число, подходящие значения $n$: 8, 9, 10, 11.
Ответ: 8, 9, 10, 11.