Номер 15.11, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.11. Запишите шестой и n-й член геометрической прогрессии:

1) 192; 48; 12; ...

2) $\frac{64}{9}$; $-\frac{32}{3}$; ...

3) -0,0001; 0,001; -0,01; ...

4) 2; $-2\sqrt{2}$; 4; ...

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

1) Дана прогрессия: 192; 48; 12; ...
Первый член прогрессии $b_1 = 192$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{48}{192} = \frac{1}{4}$.
Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = 192 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$.
Найдем шестой член прогрессии, подставив $n=6$ в формулу:
$b_6 = 192 \cdot (\frac{1}{4})^{6-1} = 192 \cdot (\frac{1}{4})^5 = 192 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{192}{1024} = \frac{3 \cdot 64}{16 \cdot 64} = \frac{3}{16}$.
Ответ: шестой член $b_6 = \frac{3}{16}$, n-й член $b_n = 192 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$.

2) Дана прогрессия: $\frac{64}{9}$; $-\frac{32}{3}$; ...
Первый член прогрессии $b_1 = \frac{64}{9}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-32/3}{64/9} = -\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{64} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = -\frac{3}{2}$.
Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^{n-1}$.
Найдем шестой член прогрессии, подставив $n=6$ в формулу:
$b_6 = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^{6-1} = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^5 = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{243}{32}) = - \frac{64 \cdot 243}{9 \cdot 32} = - (2 \cdot 27) = -54$.
Ответ: шестой член $b_6 = -54$, n-й член $b_n = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^{n-1}$.

3) Дана прогрессия: –0,0001; 0,001; –0,01; ...
Первый член прогрессии $b_1 = -0,0001$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,001}{-0,0001} = -10$.
Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = -0,0001 \cdot (-10)^{n-1}$.
Найдем шестой член прогрессии, подставив $n=6$ в формулу:
$b_6 = -0,0001 \cdot (-10)^{6-1} = -0,0001 \cdot (-10)^5 = -0,0001 \cdot (-100000) = 10$.
Ответ: шестой член $b_6 = 10$, n-й член $b_n = -0,0001 \cdot (-10)^{n-1}$.

4) Дана прогрессия: 2; $-2\sqrt{2}$; 4; ...
Первый член прогрессии $b_1 = 2$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.
Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = 2 \cdot (-\sqrt{2})^{n-1}$.
Найдем шестой член прогрессии, подставив $n=6$ в формулу:
$b_6 = 2 \cdot (-\sqrt{2})^{6-1} = 2 \cdot (-\sqrt{2})^5 = 2 \cdot (-(\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2}) = 2 \cdot (-4\sqrt{2}) = -8\sqrt{2}$.
Ответ: шестой член $b_6 = -8\sqrt{2}$, n-й член $b_n = 2 \cdot (-\sqrt{2})^{n-1}$.