Номер 15.18, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.18.1) Между числами 15 и 405 вставьте два числа так, чтобы вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию.

2) Между числами 36 и 2,25 вставьте три числа так, чтобы вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию.

1) Пусть искомые числа вместе с данными образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, состоящую из четырех членов. Тогда первый член $b_1 = 15$, а четвертый член $b_4 = 405$. Нам необходимо найти второй ($b_2$) и третий ($b_3$) члены этой прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Для четвертого члена прогрессии формула будет выглядеть так: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.

Подставим известные значения в формулу: $405 = 15 \cdot q^3$.

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти знаменатель $q$:

$q^3 = \frac{405}{15} = 27$

$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Зная знаменатель прогрессии, мы можем вычислить недостающие члены:

$b_2 = b_1 \cdot q = 15 \cdot 3 = 45$

$b_3 = b_2 \cdot q = 45 \cdot 3 = 135$

Таким образом, полученная геометрическая прогрессия: 15, 45, 135, 405.

Ответ: 45 и 135.

2) Пусть искомые числа вместе с данными образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, состоящую из пяти членов. В этом случае первый член $b_1 = 36$, а пятый член $b_5 = 2.25$. Нам нужно найти второй ($b_2$), третий ($b_3$) и четвертый ($b_4$) члены.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для пятого члена она примет вид: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения: $2.25 = 36 \cdot q^4$.

Найдем знаменатель $q$ из этого уравнения. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $2.25$ в виде обыкновенной дроби: $2.25 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

$q^4 = \frac{2.25}{36} = \frac{9/4}{36} = \frac{9}{4 \cdot 36} = \frac{1}{16}$

Уравнение $q^4 = \frac{1}{16}$ имеет два действительных корня, так как степень четная: $q = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$ и $q = -\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{2}$. Следовательно, существуют два возможных набора чисел.

Случай 1: знаменатель $q = \frac{1}{2}$

Вычислим искомые члены прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$

$b_3 = b_2 \cdot q = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5$

В этом случае искомые числа: 18, 9, 4.5.

Случай 2: знаменатель $q = -\frac{1}{2}$

Вычислим искомые члены прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 36 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -18$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-18) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4.5$

В этом случае искомые числа: -18, 9, -4.5.

Ответ: 18, 9, 4.5 или -18, 9, -4.5.