Номер 15.25, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.25. 1) Найдите три положительных числа, составляющих геометрическую прогрессию, если значение их суммы равно 42, а значение суммы обратных им чисел равно $\frac{21}{32}$.

2) Найдите три положительных числа, образующих геометрическую прогрессию, если значение их суммы равно 21, а значение суммы обратных им чисел равно $\frac{21}{16}$.

1)

Пусть три искомых положительных числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. Тогда эти числа можно записать как $b_1$, $b_1q$, $b_1q^2$. Поскольку числа положительные, $b_1 > 0$ и $q > 0$.

По условию задачи, сумма этих чисел равна 42:

$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 42$

$b_1(1 + q + q^2) = 42$

Также, по условию, сумма обратных им чисел равна $\frac{21}{32}$:

$\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1q} + \frac{1}{b_1q^2} = \frac{21}{32}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $b_1q^2$:

$\frac{q^2 + q + 1}{b_1q^2} = \frac{21}{32}$

Теперь у нас есть два уравнения. Из первого уравнения выразим $1 + q + q^2 = \frac{42}{b_1}$ и подставим это во второе уравнение:

$\frac{42/b_1}{b_1q^2} = \frac{21}{32}$

$\frac{42}{b_1^2q^2} = \frac{21}{32}$

Решим это уравнение. Выразим $(b_1q)^2$:

$(b_1q)^2 = \frac{42 \cdot 32}{21} = 2 \cdot 32 = 64$

Поскольку $b_1 > 0$ и $q > 0$, то $b_1q$ должно быть положительным. Следовательно:

$b_1q = \sqrt{64} = 8$

Мы нашли второй член прогрессии, $b_2 = 8$. Теперь выразим $b_1 = \frac{8}{q}$ и подставим в первое уравнение:

$\frac{8}{q}(1 + q + q^2) = 42$

$8(1 + q + q^2) = 42q$

Разделим обе части на 2:

$4(1 + q + q^2) = 21q$

$4 + 4q + 4q^2 = 21q$

$4q^2 - 17q + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$.

Корни уравнения: $q = \frac{-(-17) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 15}{8}$.

$q_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$q_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем сами числа для каждого значения $q$.

Случай 1: Если $q=4$, то $b_1 = \frac{8}{q} = \frac{8}{4} = 2$. Числа прогрессии: 2, $2 \cdot 4=8$, $8 \cdot 4=32$. То есть 2, 8, 32.

Случай 2: Если $q=\frac{1}{4}$, то $b_1 = \frac{8}{q} = \frac{8}{1/4} = 32$. Числа прогрессии: 32, $32 \cdot \frac{1}{4}=8$, $8 \cdot \frac{1}{4}=2$. То есть 32, 8, 2.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор из трех чисел.

Ответ: 2, 8, 32.

2)

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Пусть искомые положительные числа это $b_1$, $b_1q$ и $b_1q^2$, где $b_1 > 0$ и $q > 0$.

Сумма чисел равна 21:

$b_1(1 + q + q^2) = 21$

Сумма обратных им чисел равна $\frac{21}{16}$:

$\frac{1 + q + q^2}{b_1q^2} = \frac{21}{16}$

Из первого уравнения выразим $1 + q + q^2 = \frac{21}{b_1}$ и подставим во второе:

$\frac{21/b_1}{b_1q^2} = \frac{21}{16}$

$\frac{21}{b_1^2q^2} = \frac{21}{16}$

Разделив обе части на 21, получаем:

$(b_1q)^2 = 16$

Так как $b_1 > 0$ и $q > 0$, извлекаем положительный корень:

$b_1q = \sqrt{16} = 4$

Второй член прогрессии $b_2=4$. Выразим $b_1 = \frac{4}{q}$ и подставим в первое уравнение:

$\frac{4}{q}(1 + q + q^2) = 21$

$4(1 + q + q^2) = 21q$

$4 + 4q + 4q^2 = 21q$

$4q^2 - 17q + 4 = 0$

Мы получили точно такое же квадратное уравнение, как и в первой задаче. Его корни $q_1 = 4$ и $q_2 = \frac{1}{4}$.

Найдем члены прогрессии для каждого случая.

Случай 1: Если $q=4$, то $b_1 = \frac{4}{q} = \frac{4}{4} = 1$. Числа прогрессии: 1, $1 \cdot 4=4$, $4 \cdot 4=16$. То есть 1, 4, 16.

Случай 2: Если $q=\frac{1}{4}$, то $b_1 = \frac{4}{q} = \frac{4}{1/4} = 16$. Числа прогрессии: 16, $16 \cdot \frac{1}{4}=4$, $4 \cdot \frac{1}{4}=1$. То есть 16, 4, 1.

Оба случая дают один и тот же набор чисел.

Ответ: 1, 4, 16.