Номер 15.26, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.26. Значение суммы трех чисел, образующих геометрическую прогрессию, равно 13, а значение суммы их квадратов равно 91. Найдите эти числа.

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член прогрессии как $b$, а знаменатель прогрессии как $q$. Тогда эти три числа можно записать в виде $b$, $bq$, $bq^2$.

Согласно условию задачи, сумма этих трех чисел равна 13. Запишем это в виде уравнения: $b + bq + bq^2 = 13$

Вынесем $b$ за скобки: $b(1 + q + q^2) = 13$ (1)

Также по условию, сумма их квадратов равна 91. Запишем второе уравнение: $b^2 + (bq)^2 + (bq^2)^2 = 91$

Упростим это уравнение: $b^2 + b^2q^2 + b^2q^4 = 91$

Вынесем $b^2$ за скобки: $b^2(1 + q^2 + q^4) = 91$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b$ и $q$:
1) $b(1 + q + q^2) = 13$
2) $b^2(1 + q^2 + q^4) = 91$

Возведем обе части первого уравнения в квадрат: $(b(1 + q + q^2))^2 = 13^2$
$b^2(1 + q + q^2)^2 = 169$ (3)

Теперь разделим уравнение (3) на уравнение (2): $\frac{b^2(1 + q + q^2)^2}{b^2(1 + q^2 + q^4)} = \frac{169}{91}$

Сократим $b^2$ в левой части и дробь в правой части (169 = 13 · 13, 91 = 7 · 13): $\frac{(1 + q + q^2)^2}{1 + q^2 + q^4} = \frac{13}{7}$

Используем тождество $1 + q^2 + q^4 = (1 + q + q^2)(1 - q + q^2)$. Подставим его в знаменатель: $\frac{(1 + q + q^2)^2}{(1 + q + q^2)(1 - q + q^2)} = \frac{13}{7}$

Сократим дробь в левой части: $\frac{1 + q + q^2}{1 - q + q^2} = \frac{13}{7}$

Теперь решим это уравнение относительно $q$, используя свойство пропорции: $7(1 + q + q^2) = 13(1 - q + q^2)$
$7 + 7q + 7q^2 = 13 - 13q + 13q^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $13q^2 - 7q^2 - 13q - 7q + 13 - 7 = 0$
$6q^2 - 20q + 6 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $3q^2 - 10q + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
$q_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

Получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии $q$:
$q_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$q_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем первый член прогрессии $b$ для каждого из значений $q$, используя уравнение (1): $b(1 + q + q^2) = 13$.

Случай 1: $q = 3$
$b(1 + 3 + 3^2) = 13$
$b(1 + 3 + 9) = 13$
$b(13) = 13$
$b = 1$

Тогда искомые числа:
$b_1 = b = 1$
$b_2 = bq = 1 \cdot 3 = 3$
$b_3 = bq^2 = 1 \cdot 3^2 = 9$
Получаем числа 1, 3, 9.

Случай 2: $q = \frac{1}{3}$
$b(1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2) = 13$
$b(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}) = 13$
$b(\frac{9}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9}) = 13$
$b(\frac{13}{9}) = 13$
$b = 9$

Тогда искомые числа:
$b_1 = b = 9$
$b_2 = bq = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$
$b_3 = bq^2 = 9 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 9 \cdot \frac{1}{9} = 1$
Получаем числа 9, 3, 1.

В обоих случаях мы получили один и тот же набор чисел {1, 3, 9}. Проверим:
Сумма чисел: $1 + 3 + 9 = 13$.
Сумма квадратов: $1^2 + 3^2 + 9^2 = 1 + 9 + 81 = 91$.
Условия задачи выполняются.

Ответ: искомые числа 1, 3, 9.