Номер 15.32, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.32. Найдите четыре числа, из которых первые три числа составляют геометрическую прогрессию, а последние три числа — арифметическую прогрессию. Значение суммы крайних чисел равно 32, а значение суммы средних чисел равно 24.

Пусть искомые четыре числа — это $a$, $b$, $c$ и $d$.

По условию задачи, первые три числа ($a, b, c$) составляют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат среднего члена равен произведению его соседей: $b^2 = ac$ (1)

Последние три числа ($b, c, d$) составляют арифметическую прогрессию. Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что удвоенный средний член равен сумме его соседей: $2c = b + d$ (2)

Также из условия известна сумма крайних чисел: $a + d = 32$ (3)

И сумма средних чисел: $b + c = 24$ (4)

Мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Решим ее. Из уравнения (4) выразим $c$ через $b$: $c = 24 - b$

Из уравнения (3) выразим $d$ через $a$: $d = 32 - a$

Подставим эти выражения для $c$ и $d$ в уравнение (2): $2(24 - b) = b + (32 - a)$
$48 - 2b = b + 32 - a$
$a = 3b + 32 - 48$
$a = 3b - 16$

Теперь у нас есть выражения для $a$ и $c$ через $b$. Подставим их в уравнение (1): $b^2 = a \cdot c$
$b^2 = (3b - 16)(24 - b)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $b$: $b^2 = 72b - 3b^2 - 384 + 16b$
$b^2 = -3b^2 + 88b - 384$
$4b^2 - 88b + 384 = 0$

Разделим все члены уравнения на 4 для упрощения: $b^2 - 22b + 96 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 22, а их произведение равно 96. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и 16. Следовательно, у нас есть два возможных значения для $b$: $b_1 = 6$ и $b_2 = 16$.

Таким образом, существуют два возможных набора чисел. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: $b = 6$
Найдем остальные числа, используя полученные ранее формулы:
$c = 24 - b = 24 - 6 = 18$
$a = 3b - 16 = 3(6) - 16 = 18 - 16 = 2$
$d = 32 - a = 32 - 2 = 30$
Получаем последовательность чисел: 2, 6, 18, 30.
Проверим выполнение условий: - Первые три числа (2, 6, 18) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 3$. - Последние три числа (6, 18, 30) образуют арифметическую прогрессию с разностью $r = 12$. - Сумма крайних чисел: $2 + 30 = 32$. - Сумма средних чисел: $6 + 18 = 24$.
Все условия выполняются.

Случай 2: $b = 16$
Найдем остальные числа:
$c = 24 - b = 24 - 16 = 8$
$a = 3b - 16 = 3(16) - 16 = 48 - 16 = 32$
$d = 32 - a = 32 - 32 = 0$
Получаем последовательность чисел: 32, 16, 8, 0.
Проверим выполнение условий: - Первые три числа (32, 16, 8) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1/2$. - Последние три числа (16, 8, 0) образуют арифметическую прогрессию с разностью $r = -8$. - Сумма крайних чисел: $32 + 0 = 32$. - Сумма средних чисел: $16 + 8 = 24$.
Все условия выполняются.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: искомые числа — это 2, 6, 18, 30 или 32, 16, 8, 0.