Номер 15.31, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.31. Три отличных от нуля числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел — геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии.

Пусть три отличных от нуля числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Для удобства представим их в виде $a-d, a, a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, все три числа не равны нулю: $a \neq 0$, $a-d \neq 0$, $a+d \neq 0$.

Квадраты этих чисел, $(a-d)^2, a^2, (a+d)^2$, образуют геометрическую прогрессию. Обозначим знаменатель этой прогрессии как $q$.

Основное свойство геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат любого её члена (кроме первого) равен произведению соседних с ним членов. Применительно к нашей последовательности квадратов это означает: $(a^2)^2 = (a-d)^2 \cdot (a+d)^2$

Упростим это уравнение: $a^4 = ((a-d)(a+d))^2$
$a^4 = (a^2 - d^2)^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:
1) $a^2 = a^2 - d^2$
2) $a^2 = -(a^2 - d^2)$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $a^2 = a^2 - d^2$.
Из этого уравнения следует, что $d^2 = 0$, то есть $d=0$. В этом случае все три члена арифметической прогрессии равны между собой: $a, a, a$. Так как по условию они отличны от нуля, $a \neq 0$. Квадраты этих чисел также равны: $a^2, a^2, a^2$. Эта последовательность является геометрической прогрессией, знаменатель которой $q = \frac{a^2}{a^2} = 1$.

Случай 2: $a^2 = -(a^2 - d^2)$.
$a^2 = -a^2 + d^2$
$2a^2 = d^2$
Поскольку по условию $a \neq 0$, то и $d \neq 0$, значит, все три числа в арифметической прогрессии различны. Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$: $q = \frac{a^2}{(a-d)^2} = \left(\frac{a}{a-d}\right)^2 = \left(\frac{1}{1-d/a}\right)^2$
Из соотношения $2a^2 = d^2$ найдем отношение $d/a$: $\frac{d^2}{a^2} = 2$, откуда $\frac{d}{a} = \pm\sqrt{2}$.

Подставим эти значения в формулу для $q$.
Если $\frac{d}{a} = \sqrt{2}$, то $q = \left(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{(1-\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1 - 2\sqrt{2} + 2} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$. Рационализируем знаменатель: $q = \frac{1 \cdot (3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8} = 3+2\sqrt{2}$.
Если $\frac{d}{a} = -\sqrt{2}$, то $q = \left(\frac{1}{1-(-\sqrt{2})}\right)^2 = \left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{1+2\sqrt{2}+2} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$. Рационализируем знаменатель: $q = \frac{1 \cdot (3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{3-2\sqrt{2}}{9-8} = 3-2\sqrt{2}$.

Таким образом, существуют три возможных значения для знаменателя геометрической прогрессии. В условии задачи нет уточнений, исключающих какой-либо из этих случаев (например, что числа должны быть различны), поэтому все три являются решением.

Ответ: $1$; $3+2\sqrt{2}$; $3-2\sqrt{2}$.