Номер 15.30, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.30. Найдите длины сторон треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими геометрическую прогрессию, а значение их произведения равно $1000 \text{ см}^3$.

Пусть длины сторон треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

По условию задачи, эти длины являются целыми числами и образуют геометрическую прогрессию. Для удобства представим три последовательных члена геометрической прогрессии как $\frac{x}{q}$, $x$ и $xq$, где $x$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Таким образом, стороны треугольника можно записать как $a = \frac{x}{q}$, $b = x$, $c = xq$.

Также известно, что произведение длин сторон равно 1000 см³:

$a \cdot b \cdot c = 1000$

Подставим наши выражения для сторон в это уравнение:

$(\frac{x}{q}) \cdot x \cdot (xq) = 1000$

$x^3 = 1000$

Отсюда находим значение среднего члена прогрессии $x$:

$x = \sqrt[3]{1000} = 10$ см.

Это означает, что одна из сторон треугольника равна 10 см. Теперь стороны можно представить как $\frac{10}{q}$, 10 и $10q$.

Поскольку все стороны должны быть целыми числами, то числа $a = \frac{10}{q}$ и $c = 10q$ также должны быть целыми. Если мы перемножим эти два числа, мы получим:

$a \cdot c = \frac{10}{q} \cdot 10q = 100$.

Таким образом, задача сводится к поиску двух целых чисел $a$ и $c$, произведение которых равно 100, и которые вместе со стороной $b = 10$ могут образовать треугольник. Для этого они должны удовлетворять неравенству треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

$a + b > c \implies a + 10 > c$

$a + c > b \implies a + c > 10$

$b + c > a \implies 10 + c > a$

Рассмотрим все пары целых положительных чисел $(a, c)$, для которых $a \cdot c = 100$. Будем считать, что $a \le c$, так как порядок сторон не имеет значения.

Случай 1: $a = 1, c = 100$.
Стороны треугольника: 1, 10, 100.
Проверим неравенство: $1 + 10 > 100 \implies 11 > 100$. Это неверно, следовательно, такой треугольник не существует.

Случай 2: $a = 2, c = 50$.
Стороны треугольника: 2, 10, 50.
Проверим неравенство: $2 + 10 > 50 \implies 12 > 50$. Это неверно, такой треугольник не существует.

Случай 3: $a = 4, c = 25$.
Стороны треугольника: 4, 10, 25.
Проверим неравенство: $4 + 10 > 25 \implies 14 > 25$. Это неверно, такой треугольник не существует.

Случай 4: $a = 5, c = 20$.
Стороны треугольника: 5, 10, 20.
Проверим неравенство: $5 + 10 > 20 \implies 15 > 20$. Это неверно, такой треугольник не существует.

Случай 5: $a = 10, c = 10$.
Стороны треугольника: 10, 10, 10.
Проверим неравенство: $10 + 10 > 10 \implies 20 > 10$. Это верно. Остальные неравенства также выполняются. Это равносторонний треугольник.
Стороны (10, 10, 10) являются целыми числами, образуют геометрическую прогрессию (со знаменателем $q=1$) и их произведение равно $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Этот вариант удовлетворяет всем условиям задачи.

Мы рассмотрели все возможные целочисленные разложения числа 100 на два множителя, и только один случай приводит к решению.

Ответ: Длины сторон треугольника равны 10 см, 10 см и 10 см.