Номер 15.23, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.23. Четыре числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что значение суммы крайних членов равно 84, а значение произведения средних членов равно 243.

Пусть четыре числа, составляющие возрастающую геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3, b_4$. Знаменатель прогрессии обозначим как $q$. Члены прогрессии можно выразить через первый член $b_1$ и знаменатель $q$ как $b_1, b_1q, b_1q^2, b_1q^3$.

Согласно условию, сумма крайних членов (первого и четвертого) равна 84, а произведение средних членов (второго и третьего) равно 243. Это можно записать в виде системы уравнений:

$b_1 + b_4 = 84$
$b_2 \cdot b_3 = 243$

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии, согласно которому произведение членов, равноудаленных от концов, постоянно. Для нашей прогрессии из четырех членов это означает, что $b_1 \cdot b_4 = b_2 \cdot b_3$. Таким образом, произведение крайних членов также равно 243: $b_1 \cdot b_4 = 243$.

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения крайних членов $b_1$ и $b_4$:
$b_1 + b_4 = 84$
$b_1 \cdot b_4 = 243$

По обратной теореме Виета, числа $b_1$ и $b_4$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (b_1 + b_4)x + (b_1 \cdot b_4) = 0$. Подставив известные значения суммы и произведения, получаем:

$x^2 - 84x + 243 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D$:
$D = (-84)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243 = 7056 - 972 = 6084$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{6084} = 78$.
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{84 - 78}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{84 + 78}{2} = \frac{162}{2} = 81$

Следовательно, крайние члены прогрессии равны 3 и 81. Так как по условию прогрессия является возрастающей, то первый член должен быть меньше последнего, то есть $b_1 < b_4$. Значит, $b_1 = 3$ и $b_4 = 81$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу n-го члена $b_4 = b_1q^{4-1} = b_1q^3$:
$81 = 3 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{81}{3} = 27$
$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Поскольку $b_1 = 3 > 0$ и $q = 3 > 1$, прогрессия действительно является возрастающей. Теперь мы можем найти все четыре числа:
$b_1 = 3$
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot 3 = 9$
$b_3 = b_2 \cdot q = 9 \cdot 3 = 27$
$b_4 = b_3 \cdot q = 27 \cdot 3 = 81$

Проверим, удовлетворяют ли найденные числа исходным условиям:
1. Сумма крайних членов: $3 + 81 = 84$. (Верно)
2. Произведение средних членов: $9 \cdot 27 = 243$. (Верно)
3. Ряд чисел 3, 9, 27, 81 является возрастающей геометрической прогрессией. (Верно)

Ответ: 3, 9, 27, 81.