Номер 15.20, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.20.1) Геометрическая прогрессия состоит из пяти членов:

6; $x_2$; $x_3$; $x_4$; $\frac{2}{27}$. Найдите $x_2$; $x_3$; $x_4$.

2) Геометрическая прогрессия состоит из пяти членов:

6; $x_2$; $x_3$; $x_4$; $\frac{3}{8}$. Найдите $x_2$; $x_3$; $x_4$.

1)

Дана геометрическая прогрессия, которую можно обозначить как последовательность $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$.

Из условия задачи известны первый и пятый члены прогрессии:

$b_1 = 6$

$b_5 = \frac{2}{27}$

Необходимо найти промежуточные члены: $x_2 = b_2, x_3 = b_3, x_4 = b_4$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Применим эту формулу для пятого члена, чтобы найти знаменатель $q$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{2}{27} = 6 \cdot q^4$

Теперь выразим $q^4$:

$q^4 = \frac{2}{27 \cdot 6} = \frac{2}{162} = \frac{1}{81}$

Уравнение $q^4 = \frac{1}{81}$ имеет два действительных корня, так как $81 = 3^4$. Знаменатель $q$ может быть как положительным, так и отрицательным:

$q_1 = \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{1}{3}$

$q_2 = -\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = -\frac{1}{3}$

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

Находим неизвестные члены:

$x_2 = b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$

$x_3 = b_3 = b_2 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$x_4 = b_4 = b_3 \cdot q = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$.

Находим неизвестные члены:

$x_2 = b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -2$

$x_3 = b_3 = b_2 \cdot q = (-2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$

$x_4 = b_4 = b_3 \cdot q = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{9}$

Таким образом, существуют два возможных набора членов прогрессии.

Ответ: $x_2=2; x_3=\frac{2}{3}; x_4=\frac{2}{9}$ или $x_2=-2; x_3=\frac{2}{3}; x_4=-\frac{2}{9}$.

2)

Аналогично первому заданию, имеем геометрическую прогрессию из пяти членов $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$.

Известные члены:

$b_1 = 6$

$b_5 = \frac{3}{8}$

Необходимо найти: $x_2 = b_2, x_3 = b_3, x_4 = b_4$.

Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения:

$\frac{3}{8} = 6 \cdot q^4$

Выразим $q^4$:

$q^4 = \frac{3}{8 \cdot 6} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$

Уравнение $q^4 = \frac{1}{16}$ имеет два действительных корня, так как $16 = 2^4$:

$q_1 = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$

$q_2 = -\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{2}$

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Находим неизвестные члены:

$x_2 = b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$x_3 = b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$x_4 = b_4 = b_3 \cdot q = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{2}$.

Находим неизвестные члены:

$x_2 = b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3$

$x_3 = b_3 = b_2 \cdot q = (-3) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$

$x_4 = b_4 = b_3 \cdot q = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{4}$

Таким образом, существуют два возможных набора членов прогрессии.

Ответ: $x_2=3; x_3=\frac{3}{2}; x_4=\frac{3}{4}$ или $x_2=-3; x_3=\frac{3}{2}; x_4=-\frac{3}{4}$.