Номер 15.15, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.15.1)

Второй член геометрической прогрессии составляет $20\%$ от ее первого члена. Сколько процентов составляет пятый ее член от третьего члена?

2)

Второй член геометрической прогрессии составляет $110\%$ от ее первого члена. Сколько процентов составляет ее шестой член от четвертого члена?

3)

Банк дает своим вкладчикам $8\%$ годовых. Чему будет равен вклад в $100\ 000$ тг через $2$ года?

4)

Снижение себестоимости производства товара равно $5\%$ в год. Первоначальная себестоимость товара равна $10\ 000$ тг. Чему станет равной ее себестоимость через $2$ года?

1) Обозначим члены геометрической прогрессии как $b_n$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию, второй член составляет 20% от первого, то есть $b_2 = 0.2 \cdot b_1$.

Используя формулу для второго члена, получаем: $b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$.

Приравнивая два выражения для $b_2$, имеем: $b_1 \cdot q = 0.2 \cdot b_1$. Отсюда находим знаменатель прогрессии $q = 0.2$.

Теперь нам нужно найти, сколько процентов составляет пятый член ($b_5$) от третьего ($b_3$). Для этого найдем их отношение $\frac{b_5}{b_3}$.

Выразим $b_5$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Найдем их отношение:

$\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = q^2$

Подставим найденное значение $q=0.2$:

$\frac{b_5}{b_3} = (0.2)^2 = 0.04$

Чтобы выразить это отношение в процентах, умножим результат на 100%:

$0.04 \cdot 100\% = 4\%$

Ответ: Пятый член составляет 4% от третьего члена.

2) Аналогично первому пункту, обозначим члены геометрической прогрессии как $b_n$, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель. По условию, второй член составляет 110% от первого, то есть $b_2 = 1.1 \cdot b_1$.

Из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$ получаем, что $q = 1.1$.

Требуется найти, сколько процентов составляет шестой член ($b_6$) от четвертого ($b_4$). Найдем их отношение $\frac{b_6}{b_4}$.

Выразим $b_6$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Найдем их отношение:

$\frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^3} = q^2$

Подставим найденное значение $q=1.1$:

$\frac{b_6}{b_4} = (1.1)^2 = 1.21$

Выразим в процентах:

$1.21 \cdot 100\% = 121\%$

Ответ: Шестой член составляет 121% от четвертого члена.

3) Эта задача на вычисление сложных процентов. Формула для расчета итоговой суммы вклада $S$ через $n$ лет: $S = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$, где $S_0$ — начальная сумма вклада, $p$ — годовая процентная ставка, $n$ — количество лет.

В нашем случае:

$S_0 = 100\;000$ тг

$p = 8\%$

$n = 2$ года

Подставим значения в формулу:

$S = 100\;000 \cdot (1 + \frac{8}{100})^2 = 100\;000 \cdot (1 + 0.08)^2 = 100\;000 \cdot (1.08)^2$

Вычислим $(1.08)^2$:

$(1.08)^2 = 1.1664$

Теперь найдем итоговую сумму:

$S = 100\;000 \cdot 1.1664 = 116\;640$ тг

Ответ: Через 2 года вклад будет равен 116 640 тг.

4) Эта задача на ежегодное процентное снижение величины. Формула для расчета итоговой стоимости $C$ через $n$ лет: $C = C_0 \cdot (1 - \frac{p}{100})^n$, где $C_0$ — начальная стоимость, $p$ — процент снижения в год, $n$ — количество лет.

В нашем случае:

$C_0 = 10\;000$ тг

$p = 5\%$

$n = 2$ года

Подставим значения в формулу:

$C = 10\;000 \cdot (1 - \frac{5}{100})^2 = 10\;000 \cdot (1 - 0.05)^2 = 10\;000 \cdot (0.95)^2$

Вычислим $(0.95)^2$:

$(0.95)^2 = 0.9025$

Теперь найдем итоговую себестоимость:

$C = 10\;000 \cdot 0.9025 = 9\;025$ тг

Ответ: Через 2 года себестоимость станет равной 9 025 тг.