Номер 15.10, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 15. Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Глава III. Последовательности. Часть 1 - номер 15.10, страница 137.

Условие рус.

15.10. Запишите пять первых членов геометрической прогрессии, у которой третий член равен $3\sqrt{3}$, а пятый равен $9\sqrt{3}$.

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $(b_n)$ - искомая геометрическая прогрессия, где $b_1$ - её первый член, а $q$ - её знаменатель.

По условию задачи нам даны третий член $b_3 = 3\sqrt{3}$ и пятый член $b_5 = 9\sqrt{3}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Также любой член прогрессии можно выразить через другой её член по формуле $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$. Воспользуемся этой формулой для $b_5$ и $b_3$:
$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$.

Подставим известные значения в полученное уравнение, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:
$9\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot q^2$

Разделим обе части уравнения на $3\sqrt{3}$:
$q^2 = \frac{9\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$
$q^2 = 3$

Из данного уравнения следует, что знаменатель прогрессии $q$ может иметь два значения: $q = \sqrt{3}$ или $q = -\sqrt{3}$. Это означает, что условию задачи удовлетворяют две различные геометрические прогрессии.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Воспользуемся формулой $b_3 = b_1 \cdot q^2$. Поскольку мы уже определили, что $q^2 = 3$, значение $b_1$ будет одинаковым для обоих случаев.
$3\sqrt{3} = b_1 \cdot 3$
$b_1 = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Зная первый член $b_1$ и два возможных значения знаменателя $q$, найдем первые пять членов для каждой из двух прогрессий.

Случай 1: $q = \sqrt{3}$
Последовательно вычисляем члены прогрессии:
$b_1 = \sqrt{3}$
$b_2 = b_1 \cdot q = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$
$b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
$b_4 = b_3 \cdot q = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$
$b_5 = b_4 \cdot q = 9 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$
Первые пять членов этой прогрессии: $\sqrt{3}; 3; 3\sqrt{3}; 9; 9\sqrt{3}$.

Случай 2: $q = -\sqrt{3}$
Последовательно вычисляем члены прогрессии:
$b_1 = \sqrt{3}$
$b_2 = b_1 \cdot q = \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -3$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-3) \cdot (-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$
$b_4 = b_3 \cdot q = 3\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -9$
$b_5 = b_4 \cdot q = (-9) \cdot (-\sqrt{3}) = 9\sqrt{3}$
Первые пять членов этой прогрессии: $\sqrt{3}; -3; 3\sqrt{3}; -9; 9\sqrt{3}$.

Ответ: Существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию. Их первые пять членов: $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}$ или $\sqrt{3}, -3, 3\sqrt{3}, -9, 9\sqrt{3}$.