Номер 15.12, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.12. Геометрическая прогрессия $(x_n)$ состоит из четырех членов:

1) $2, x_2, x_3, 0.25$;

2) $3, x_2, x_3, -\frac{1}{9}$.

Найдите $x_2$ и $x_3$.

1) В данном случае дана геометрическая прогрессия $x_n$, состоящая из четырех членов: $2, x_2, x_3, 0,25$.
Первый член прогрессии $x_1 = 2$, а четвертый член $x_4 = 0,25$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.
Используя эту формулу для четвертого члена, получаем:
$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = x_1 \cdot q^3$
Подставим известные значения в формулу:
$0,25 = 2 \cdot q^3$
Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{4} = 2 \cdot q^3$
Найдем $q^3$:
$q^3 = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$
Извлечем кубический корень, чтобы найти знаменатель $q$:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$
Теперь мы можем найти неизвестные члены прогрессии $x_2$ и $x_3$:
$x_2 = x_1 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
$x_3 = x_2 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0,5$
Проверка: $x_4 = x_3 \cdot q = 0,5 \cdot \frac{1}{2} = 0,25$. Значение совпадает.
Ответ: $x_2 = 1, x_3 = 0,5$.

2) В данном случае дана геометрическая прогрессия $x_n$, состоящая из четырех членов: $3, x_2, x_3, -\frac{1}{9}$.
Первый член прогрессии $x_1 = 3$, а четвертый член $x_4 = -\frac{1}{9}$.
Используем формулу для четвертого члена: $x_4 = x_1 \cdot q^3$.
Подставим известные значения в формулу:
$-\frac{1}{9} = 3 \cdot q^3$
Найдем $q^3$:
$q^3 = -\frac{1}{9 \cdot 3} = -\frac{1}{27}$
Извлечем кубический корень, чтобы найти знаменатель $q$:
$q = \sqrt[3]{-\frac{1}{27}} = -\frac{1}{3}$
Теперь мы можем найти неизвестные члены прогрессии $x_2$ и $x_3$:
$x_2 = x_1 \cdot q = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$
$x_3 = x_2 \cdot q = -1 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$
Проверка: $x_4 = x_3 \cdot q = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{9}$. Значение совпадает.
Ответ: $x_2 = -1, x_3 = \frac{1}{3}$.