Номер 15.14, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.14. 1) Величины углов выпуклого четырехугольника образуют конечную геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Найдите величины углов этого четырехугольника.

2) Величины углов треугольника образуют конечную геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 3. Найдите величины углов этого треугольника.

1)

Пусть величины углов выпуклого четырехугольника образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$ со знаменателем $q=2$. Обозначим первый член прогрессии (наименьший угол) как $x$. Тогда четыре угла четырехугольника равны:

$b_1 = x$

$b_2 = x \cdot q = 2x$

$b_3 = x \cdot q^2 = 4x$

$b_4 = x \cdot q^3 = 8x$

Сумма углов любого четырехугольника равна $360^{\circ}$. Составим и решим уравнение:

$x + 2x + 4x + 8x = 360^{\circ}$

$15x = 360^{\circ}$

$x = \frac{360^{\circ}}{15}$

$x = 24^{\circ}$

Теперь найдем величины всех углов:

Первый угол: $x = 24^{\circ}$

Второй угол: $2x = 2 \cdot 24^{\circ} = 48^{\circ}$

Третий угол: $4x = 4 \cdot 24^{\circ} = 96^{\circ}$

Четвертый угол: $8x = 8 \cdot 24^{\circ} = 192^{\circ}$

Проверим условие выпуклости. У выпуклого многоугольника все внутренние углы должны быть меньше $180^{\circ}$. В нашем случае один из углов равен $192^{\circ}$, что больше $180^{\circ}$. Это означает, что четырехугольник с такими углами не может быть выпуклым, он является вогнутым. Однако, если в задаче имелся в виду произвольный четырехугольник, то найденные значения являются верным решением.

Ответ: $24^{\circ}, 48^{\circ}, 96^{\circ}, 192^{\circ}$.

2)

Пусть величины углов треугольника образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$ со знаменателем $q=3$. Обозначим первый член прогрессии (наименьший угол) как $x$. Тогда три угла треугольника равны:

$b_1 = x$

$b_2 = x \cdot q = 3x$

$b_3 = x \cdot q^2 = 9x$

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Составим и решим уравнение:

$x + 3x + 9x = 180^{\circ}$

$13x = 180^{\circ}$

$x = \frac{180^{\circ}}{13}$

Теперь найдем величины всех углов:

Первый угол: $x = (\frac{180}{13})^{\circ}$, что составляет примерно $13,85^{\circ}$ или $13\frac{11}{13}^{\circ}$.

Второй угол: $3x = 3 \cdot \frac{180^{\circ}}{13} = (\frac{540}{13})^{\circ}$, что составляет примерно $41,54^{\circ}$ или $41\frac{7}{13}^{\circ}$.

Третий угол: $9x = 9 \cdot \frac{180^{\circ}}{13} = (\frac{1620}{13})^{\circ}$, что составляет примерно $124,61^{\circ}$ или $124\frac{8}{13}^{\circ}$.

Все найденные углы положительны и меньше $180^{\circ}$, следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: $(\frac{180}{13})^{\circ}, (\frac{540}{13})^{\circ}, (\frac{1620}{13})^{\circ}$.