Номер 15.27, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.27. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а значение суммы второго и третьего членов этой прогрессии равно 6. Найдите четыре первых члена этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Из условия задачи известно, что четвертый член прогрессии больше второго на 24. Это можно записать в виде уравнения:$b_4 = b_2 + 24$.Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:$b_1q^3 = b_1q + 24$.

Также известно, что сумма второго и третьего членов равна 6:$b_2 + b_3 = 6$.Выразим эти члены через $b_1$ и $q$:$b_1q + b_1q^2 = 6$.

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:$\begin{cases} b_1q^3 - b_1q = 24 \\ b_1q + b_1q^2 = 6\end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:$\begin{cases} b_1q(q^2 - 1) = 24 \\ b_1q(1 + q) = 6\end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $q \neq 0$ и $q \neq -1$, так как в противном случае левая часть была бы равна 0, а не 6. Это позволяет нам разделить первое уравнение на второе:$\frac{b_1q(q^2 - 1)}{b_1q(1 + q)} = \frac{24}{6}$.

Применим формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q-1)(q+1)$ и сократим дробь:$\frac{b_1q(q-1)(q+1)}{b_1q(q+1)} = 4$.$q - 1 = 4$.

Отсюда находим знаменатель прогрессии:$q = 5$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q=5$ во второе уравнение системы:$b_1 \cdot 5 \cdot (1 + 5) = 6$.$b_1 \cdot 5 \cdot 6 = 6$.$30b_1 = 6$.$b_1 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.

Зная $b_1 = \frac{1}{5}$ и $q=5$, найдем первые четыре члена прогрессии:$b_1 = \frac{1}{5}$.$b_2 = b_1 \cdot q = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$.$b_3 = b_2 \cdot q = 1 \cdot 5 = 5$.$b_4 = b_3 \cdot q = 5 \cdot 5 = 25$.

Ответ: $\frac{1}{5}, 1, 5, 25$.