Номер 15.29, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.29. 1) Между числом 3 и неизвестным числом поставлено еще одно число так, что все три числа составляют арифметическую прогрессию. Если средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия. Найдите неизвестное число.

2) $x$, $y$ и $z$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. $x+a$, $y+a$ и $z+a$ также образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

1) Пусть неизвестное число равно $c$. Между числом 3 и $c$ поставили еще одно число, назовем его $b$, так, что получилась арифметическая прогрессия: $3, b, c$.
По характеристическому свойству арифметической прогрессии, средний член равен среднему арифметическому его соседей:
$b = \frac{3 + c}{2}$
Далее, средний член $b$ уменьшили на 6, и получилась новая последовательность: $3, b-6, c$. Эта последовательность является геометрической прогрессией.
По характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению его соседей:
$(b-6)^2 = 3 \cdot c$
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $b$ и $c$. Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:
$(\frac{3 + c}{2} - 6)^2 = 3c$
Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:
$(\frac{3 + c - 12}{2})^2 = 3c$
$(\frac{c - 9}{2})^2 = 3c$
Возведем в квадрат левую часть:
$\frac{(c - 9)^2}{4} = 3c$
$(c - 9)^2 = 12c$
$c^2 - 18c + 81 = 12c$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$c^2 - 30c + 81 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета. Корнями являются числа, сумма которых равна 30, а произведение 81. Это числа 3 и 27.
$c_1 = 3$, $c_2 = 27$.
Оба значения удовлетворяют условию задачи.
Случай 1: Неизвестное число $c = 3$.
Арифметическая прогрессия: 3, 3, 3 (разность $d=0$). Средний член $b=3$.
Новая последовательность: 3, (3-6), 3, то есть 3, -3, 3. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=-1$.
Случай 2: Неизвестное число $c = 27$.
Арифметическая прогрессия: $b = \frac{3+27}{2} = 15$. Последовательность: 3, 15, 27 (разность $d=12$).
Новая последовательность: 3, (15-6), 27, то есть 3, 9, 27. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=3$.
Таким образом, неизвестное число может быть равно 3 или 27.

Ответ: 3 или 27.

2) Пусть дана геометрическая прогрессия $x, y, z$ со знаменателем $q$.
Ее члены можно выразить через первый член $x$ и знаменатель $q$:
$y = xq$
$z = xq^2$
Последовательность $x+a, y+a, z+a$ также образует геометрическую прогрессию. По свойству геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению крайних:
$(y+a)^2 = (x+a)(z+a)$
Раскроем скобки в этом равенстве:
$y^2 + 2ay + a^2 = xz + xa + za + a^2$
Для первой прогрессии $x, y, z$ также выполняется свойство $y^2 = xz$. Мы можем сократить эти члены в уравнении:
$2ay = xa + za$
Теперь подставим в это уравнение выражения для $y$ и $z$ через $x$ и $q$:
$2a(xq) = xa + (xq^2)a$
$2axq = ax + axq^2$
Для того чтобы задача имела единственный нетривиальный ответ, будем считать, что $x \neq 0$ и $a \neq 0$. Тогда можно разделить обе части уравнения на $ax$:
$2q = 1 + q^2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$q^2 - 2q + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(q-1)^2 = 0$
Отсюда следует, что уравнение имеет единственный корень:
$q = 1$

Ответ: 1.