Номер 15.33, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.33. При каком значении параметра $a$ имеет единственное решение система уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y^2 = 1, \\ x + y = a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x + y = a; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ x + 2y = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ x + y = 3? \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x + y^2 = 1 \\ x + y = a \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$: $x = a - y$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(a - y) + y^2 = 1$
$2a - 2y + y^2 = 1$
$y^2 - 2y + (2a - 1) = 0$
Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет единственный корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 1) = 4 - 8a + 4 = 8 - 8a$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$8 - 8a = 0$
$8a = 8$
$a = 1$
Геометрически это означает, что прямая $x+y=a$ является касательной к параболе $y^2 = 1 - 2x$.
Ответ: $a=1$.

2) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x + y = a \end{cases} $
Геометрически первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=\sqrt{4}=2$. Второе уравнение $x+y=a$ задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом -1.
Система имеет единственное решение, когда прямая касается окружности. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу.
Запишем уравнение прямой в виде $x + y - a = 0$. Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.
В нашем случае $(x_0, y_0) = (0,0)$, $A=1$, $B=1$, $C=-a$, и $R=2$.
$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$.
Приравниваем расстояние радиусу:
$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 2 \implies |a| = 2\sqrt{2}$.
Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a = 2\sqrt{2}$ и $a = -2\sqrt{2}$.
Ответ: $a = \pm 2\sqrt{2}$.

3) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + 2y = 4 \end{cases} $
Первое уравнение $x^2 + y^2 = a$ задает окружность с центром в (0,0) и радиусом $R=\sqrt{a}$. Для существования окружности необходимо условие $a \ge 0$. Второе уравнение $x + 2y = 4$ задает фиксированную прямую.
Система будет иметь единственное решение, если прямая является касательной к окружности. Это значит, что расстояние от центра окружности (0,0) до прямой $x+2y-4=0$ должно быть равно радиусу $R=\sqrt{a}$.
Найдем расстояние $d$:
$d = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 4|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{1+4}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
Приравниваем радиус к расстоянию:
$\sqrt{a} = \frac{4}{\sqrt{5}}$
Возводим обе части в квадрат:
$a = \left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{16}{5} = 3.2$.
Так как $a=3.2 > 0$, это значение является решением.
Ответ: $a = \frac{16}{5}$.

4) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = 3 \end{cases} $
Эта задача аналогична предыдущей. Уравнение $x^2 + y^2 = a$ задает окружность с центром в (0,0) и радиусом $R=\sqrt{a}$ (при $a \ge 0$). Уравнение $x+y=3$ задает фиксированную прямую.
Единственное решение будет при условии касания прямой и окружности. Расстояние от центра (0,0) до прямой $x+y-3=0$ должно быть равно радиусу $\sqrt{a}$.
Найдем расстояние $d$:
$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
Приравниваем радиус к расстоянию:
$\sqrt{a} = \frac{3}{\sqrt{2}}$
Возводим обе части в квадрат:
$a = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{9}{2} = 4.5$.
Условие $a \ge 0$ выполнено.
Ответ: $a = \frac{9}{2}$.