Номер 15.37, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.37. Упростите выражение:

1) $\frac{8^3 : 4^4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^{53};$

2) $\frac{5^5 (x^3 \cdot x)^2}{(-5x^2)^3};$

3) $\frac{(a^3 \cdot 2x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot 4x^7};$

4) $\frac{8(b^3 \cdot x^4)^3}{(-2b^3)^2 \cdot x^{12}}.$

1)Для упрощения выражения $\frac{8^3 : 4^4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^{53}$ выполним следующие действия.
Сначала преобразуем числа в числителе, представив их как степени двойки: $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.
Тогда $8^3 : 4^4 = (2^3)^3 : (2^2)^4 = 2^9 : 2^8 = 2^{9-8} = 2$.
В знаменателе любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $14^0 = 1$.
Выражение принимает вид: $\frac{2}{1 \cdot a^{-2}} \cdot a^{53}$.
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{a^{-2}} = a^2$.
Теперь выражение выглядит так: $2a^2 \cdot a^{53}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $2a^{2+53} = 2a^{55}$.
Ответ: $2a^{55}$

2)Рассмотрим выражение $\frac{5^5 (x^3 \cdot x)^2}{(-5x^2)^3}$.
Упростим числитель: $x^3 \cdot x = x^{3+1} = x^4$. Тогда $(x^3 \cdot x)^2 = (x^4)^2 = x^8$. Весь числитель равен $5^5 x^8$.
Упростим знаменатель: $(-5x^2)^3 = (-5)^3 \cdot (x^2)^3 = -125 \cdot x^6$. Так как $125 = 5^3$, знаменатель равен $-5^3 x^6$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{5^5 x^8}{-5^3 x^6}$.
Разделим числовые коэффициенты и переменные отдельно: $-\frac{5^5}{5^3} \cdot \frac{x^8}{x^6}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $-5^{5-3} \cdot x^{8-6} = -5^2 \cdot x^2 = -25x^2$.
Ответ: $-25x^2$

3)Упростим выражение $\frac{(a^3 \cdot 2x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot 4x^7}$.
Возведем в степень числитель: $(a^3 \cdot 2x^4)^2 = (a^3)^2 \cdot 2^2 \cdot (x^4)^2 = a^{3 \cdot 2} \cdot 4 \cdot x^{4 \cdot 2} = 4a^6x^8$.
Упростим знаменатель: $(a^2)^2 \cdot 4x^7 = a^{2 \cdot 2} \cdot 4x^7 = 4a^4x^7$.
Подставим упрощенные части в исходное выражение: $\frac{4a^6x^8}{4a^4x^7}$.
Сократим общий множитель 4: $\frac{a^6x^8}{a^4x^7}$.
Разделим степени с одинаковыми основаниями: $a^{6-4} \cdot x^{8-7} = a^2x^1 = a^2x$.
Ответ: $a^2x$

4)Упростим выражение $\frac{8(b^3 \cdot x^4)^3}{(-2b^3)^2 \cdot x^{12}}$.
Сначала упростим числитель: $8(b^3 \cdot x^4)^3 = 8 \cdot (b^3)^3 \cdot (x^4)^3 = 8 \cdot b^{3 \cdot 3} \cdot x^{4 \cdot 3} = 8b^9x^{12}$.
Теперь упростим знаменатель: $(-2b^3)^2 \cdot x^{12} = (-2)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot x^{12} = 4 \cdot b^{3 \cdot 2} \cdot x^{12} = 4b^6x^{12}$.
Запишем дробь с упрощенными числителем и знаменателем: $\frac{8b^9x^{12}}{4b^6x^{12}}$.
Разделим коэффициенты и переменные: $\frac{8}{4} \cdot \frac{b^9}{b^6} \cdot \frac{x^{12}}{x^{12}}$.
Выполним деление: $2 \cdot b^{9-6} \cdot x^{12-12} = 2 \cdot b^3 \cdot x^0$.
Так как $x^0 = 1$ (при $x \neq 0$), получаем $2b^3$.
Ответ: $2b^3$