Номер 16.3, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.3. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $q$ и $n$, если:

1) $b_1 = 2$, $b_n = 1024$, $S_n = 2046$;

2) $b_1 = 512$, $b_n = 1$, $S_n = 1023$;

3) $b_1 = 0.5$, $b_n = 16$, $S_n = 31.5$;

4) $b_1 = \frac{2}{9}$, $b_n = 18$, $S_n = 26\frac{8}{9}$.

1) Дано: $b_1 = 2$, $b_n = 1024$, $S_n = 2046$.

Для нахождения знаменателя прогрессии $q$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$.

Подставим известные значения в формулу:

$2046 = \frac{1024q - 2}{q - 1}$

Решим полученное уравнение относительно $q$:

$2046(q - 1) = 1024q - 2$

$2046q - 2046 = 1024q - 2$

$2046q - 1024q = 2046 - 2$

$1022q = 2044$

$q = \frac{2044}{1022} = 2$

Теперь найдем число членов прогрессии $n$, используя формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения $b_1$, $b_n$ и найденное значение $q$:

$1024 = 2 \cdot 2^{n-1}$

$1024 = 2^{1 + n-1}$

$1024 = 2^n$

Так как $1024 = 2^{10}$, получаем:

$2^{10} = 2^n$

$n = 10$

Ответ: $q=2$, $n=10$.

2) Дано: $b_1 = 512$, $b_n = 1$, $S_n = 1023$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$ для нахождения $q$.

Подставляем значения:

$1023 = \frac{1 \cdot q - 512}{q - 1}$

$1023(q - 1) = q - 512$

$1023q - 1023 = q - 512$

$1023q - q = 1023 - 512$

$1022q = 511$

$q = \frac{511}{1022} = \frac{1}{2}$

Далее найдем $n$ по формуле n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставляем значения:

$1 = 512 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{1}{512} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Так как $512 = 2^9$, то $\frac{1}{512} = \frac{1}{2^9} = (\frac{1}{2})^9$.

$(\frac{1}{2})^9 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Отсюда следует, что $9 = n - 1$.

$n = 10$

Ответ: $q=\frac{1}{2}$, $n=10$.

3) Дано: $b_1 = 0,5$, $b_n = 16$, $S_n = 31,5$.

Снова используем формулу $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$ для нахождения $q$.

Подставляем значения:

$31,5 = \frac{16q - 0,5}{q - 1}$

$31,5(q - 1) = 16q - 0,5$

$31,5q - 31,5 = 16q - 0,5$

$31,5q - 16q = 31,5 - 0,5$

$15,5q = 31$

$q = \frac{31}{15,5} = 2$

Теперь находим $n$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставляем значения:

$16 = 0,5 \cdot 2^{n-1}$

$16 = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}$

$32 = 2^{n-1}$

Так как $32 = 2^5$, получаем:

$2^5 = 2^{n-1}$

$5 = n - 1$

$n = 6$

Ответ: $q=2$, $n=6$.

4) Дано: $b_1 = \frac{2}{9}$, $b_n = 18$, $S_n = 26\frac{8}{9}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$S_n = 26\frac{8}{9} = \frac{26 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{234 + 8}{9} = \frac{242}{9}$

Находим $q$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$.

Подставляем значения:

$\frac{242}{9} = \frac{18q - \frac{2}{9}}{q - 1}$

Умножим обе части уравнения на $9(q-1)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$242(q - 1) = 9(18q - \frac{2}{9})$

$242q - 242 = 162q - 2$

$242q - 162q = 242 - 2$

$80q = 240$

$q = \frac{240}{80} = 3$

Наконец, находим $n$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставляем значения:

$18 = \frac{2}{9} \cdot 3^{n-1}$

Умножим обе части на $\frac{9}{2}$:

$18 \cdot \frac{9}{2} = 3^{n-1}$

$9 \cdot 9 = 3^{n-1}$

$81 = 3^{n-1}$

Так как $81 = 3^4$, получаем:

$3^4 = 3^{n-1}$

$4 = n - 1$

$n = 5$

Ответ: $q=3$, $n=5$.