Номер 16.10, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.10. 1) Второй член геометрической прогрессии составляет 20% от ее первого члена. Сколько процентов составляет пятый ее член от третьего?

2) Второй член геометрической прогрессии составляет 110% от ее первого члена. Сколько процентов составляет шестой член от четвертого?

1) Пусть $b_n$ — геометрическая прогрессия, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию, второй член прогрессии составляет 20% от первого члена. Запишем это математически:$b_2 = 0,2 \cdot b_1$.

С другой стороны, по формуле n-го члена:$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$.

Приравняем два выражения для $b_2$:$b_1 \cdot q = 0,2 \cdot b_1$.При условии, что $b_1 \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$ и найти знаменатель прогрессии:$q = 0,2$.

Теперь нам нужно найти, сколько процентов составляет пятый член от третьего. Для этого найдем отношение $\frac{b_5}{b_3}$ и выразим его в процентах.Выразим $b_5$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Найдем их отношение:$\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = q^2$.

Подставим найденное значение $q = 0,2$:$\frac{b_5}{b_3} = (0,2)^2 = 0,04$.

Чтобы выразить это отношение в процентах, умножим его на 100%:$0,04 \cdot 100\% = 4\%$.

Ответ: 4%.

2) Аналогично предыдущей задаче, пусть $b_n$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию, второй член прогрессии составляет 110% от первого члена. Запишем это математически, переведя проценты в десятичную дробь:$b_2 = 1,1 \cdot b_1$.

Используя формулу n-го члена для $b_2$:$b_2 = b_1 \cdot q$.

Приравняем эти выражения, чтобы найти $q$:$b_1 \cdot q = 1,1 \cdot b_1$.Если $b_1 \neq 0$, то знаменатель прогрессии равен:$q = 1,1$.

Далее найдем, сколько процентов составляет шестой член от четвертого. Для этого вычислим отношение $\frac{b_6}{b_4}$.Выразим $b_6$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Найдем их отношение:$\frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^3} = q^2$.

Подставим найденное значение $q = 1,1$:$\frac{b_6}{b_4} = (1,1)^2 = 1,21$.

Чтобы выразить это отношение в процентах, умножим его на 100%:$1,21 \cdot 100\% = 121\%$.

Ответ: 121%.