Номер 16.16, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.16. Найдите значение суммы членов геометрической прогрессии:

1) 4; 12; 36; ...; 2916;

2) $\frac{81}{4}$; $\frac{27}{4}$; $\frac{9}{4}$; ...; $\frac{1}{108}$;

3) -1; 2; -4; ...; -256;

4) 3; -6; 12; -24; ...; 192.

1) В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 4$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{12}{4} = 3$.
Последний член прогрессии $b_n = 2916$. Найдем количество членов $n$, используя формулу $n$-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$2916 = 4 \cdot 3^{n-1}$
$729 = 3^{n-1}$
Так как $3^6 = 729$, то $n-1 = 6$, и $n = 7$.
Теперь вычислим сумму $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{2916 \cdot 3 - 4}{3 - 1} = \frac{8748 - 4}{2} = \frac{8744}{2} = 4372$.
Ответ: 4372.

2) В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = \frac{81}{4}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{27/4}{81/4} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
Последний член прогрессии $b_n = \frac{1}{108}$. Найдем количество членов $n$ по формуле $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$\frac{1}{108} = \frac{81}{4} \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$
$(\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{108} \cdot \frac{4}{81} = \frac{4}{8748} = \frac{1}{2187}$
Так как $3^7 = 2187$, то $(\frac{1}{3})^7 = \frac{1}{2187}$. Следовательно, $n-1 = 7$, и $n = 8$.
Вычислим сумму $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_8 = \frac{\frac{1}{108} \cdot \frac{1}{3} - \frac{81}{4}}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{324} - \frac{81 \cdot 81}{4 \cdot 81}}{\frac{-2}{3}} = \frac{\frac{1 - 6561}{324}}{-\frac{2}{3}} = \frac{-6560}{324} \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{6560 \cdot 3}{324 \cdot 2} = \frac{3280 \cdot 3}{324} = \frac{3280}{108} = \frac{820}{27}$.
Ответ: $\frac{820}{27}$.

3) В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = -1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{2}{-1} = -2$.
Последний член прогрессии $b_n = -256$. Найдем количество членов $n$ по формуле $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$-256 = (-1) \cdot (-2)^{n-1}$
$256 = (-2)^{n-1}$
Поскольку $2^8 = 256$, и показатель степени $n-1$ должен быть четным, чтобы результат был положительным, то $(-2)^8 = 256$. Значит, $n-1 = 8$, и $n = 9$.
Вычислим сумму $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_9 = \frac{-256 \cdot (-2) - (-1)}{-2 - 1} = \frac{512 + 1}{-3} = \frac{513}{-3} = -171$.
Ответ: -171.

4) В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 3$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{-6}{3} = -2$.
Последний член прогрессии $b_n = 192$. Найдем количество членов $n$ по формуле $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$192 = 3 \cdot (-2)^{n-1}$
$64 = (-2)^{n-1}$
Поскольку $2^6 = 64$, и показатель степени $n-1$ должен быть четным, чтобы результат был положительным, то $(-2)^6 = 64$. Значит, $n-1 = 6$, и $n = 7$.
Вычислим сумму $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{192 \cdot (-2) - 3}{-2 - 1} = \frac{-384 - 3}{-3} = \frac{-387}{-3} = 129$.
Ответ: 129.