Номер 16.14, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.14. В геометрической прогрессии ($b_n$) известно, что:

1)

$S_3 = 219$, $b_1 b_2 b_3 = 13824$. Найдите $b_2$.

2)

$S_3 = 93$, $b_1 b_2 b_3 = 3375$. Найдите $S_4$.

1)

Пусть $(b_n)$ – данная геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.
По условию задачи мы имеем:
Сумма первых трех членов: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 219$.
Произведение первых трех членов: $b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 13824$.

Для любой геометрической прогрессии справедливо свойство, что квадрат среднего члена равен произведению его соседей: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.
Используем это свойство для преобразования произведения:
$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = (b_1 \cdot b_3) \cdot b_2 = b_2^2 \cdot b_2 = b_2^3$.

Таким образом, мы получаем уравнение относительно $b_2$:
$b_2^3 = 13824$.
Чтобы найти $b_2$, извлечем кубический корень из 13824:
$b_2 = \sqrt[3]{13824} = 24$.

Теперь мы знаем второй член прогрессии. Подставим его значение в формулу суммы $S_3$:
$b_1 + 24 + b_3 = 219$.
Отсюда можем выразить сумму первого и третьего членов:
$b_1 + b_3 = 219 - 24 = 195$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $b_1$ и $b_3$:
1) $b_1 + b_3 = 195$
2) $b_1 \cdot b_3 = b_2^2 = 24^2 = 576$

Согласно обратной теореме Виета, $b_1$ и $b_3$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (b_1+b_3)x + b_1b_3 = 0$.
Подставим наши значения: $x^2 - 195x + 576 = 0$.
Решим это уравнение через дискриминант:
$D = (-195)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 576 = 38025 - 2304 = 35721$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{35721} = 189$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{195 - 189}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{195 + 189}{2} = \frac{384}{2} = 192$.

Корни уравнения 3 и 192 являются значениями для $b_1$ и $b_3$. Это означает, что возможны два варианта для прогрессии:
Случай 1: $b_1 = 3$ и $b_3 = 192$. Знаменатель $q = b_2/b_1 = 24/3 = 8$. Прогрессия: 3, 24, 192, ...
Случай 2: $b_1 = 192$ и $b_3 = 3$. Знаменатель $q = b_2/b_1 = 24/192 = 1/8$. Прогрессия: 192, 24, 3, ...
Оба случая удовлетворяют условиям задачи. Следовательно, для $b_3$ существует два возможных значения.
Ответ: 3 или 192.

2)

По условию для геометрической прогрессии $(b_n)$ известно:
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 93$.
$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 3375$.

Действуя аналогично предыдущей задаче, найдем $b_2$ из произведения:
$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = b_2^3 = 3375$.
$b_2 = \sqrt[3]{3375} = 15$.

Подставим найденное значение $b_2 = 15$ в сумму $S_3$:
$b_1 + 15 + b_3 = 93$.
$b_1 + b_3 = 93 - 15 = 78$.

Выразим $b_1$ и $b_3$ через $b_2$ и знаменатель прогрессии $q$:
$b_1 = b_2 / q = 15/q$.
$b_3 = b_2 \cdot q = 15q$.
Подставим эти выражения в уравнение $b_1 + b_3 = 78$:
$\frac{15}{q} + 15q = 78$.
Умножим обе части уравнения на $q$ (поскольку $q \neq 0$):
$15 + 15q^2 = 78q$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$15q^2 - 78q + 15 = 0$.
Для удобства разделим все коэффициенты на 3:
$5q^2 - 26q + 5 = 0$.

Решим это уравнение для $q$:
$D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576$.
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.
$q_1 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$.
$q_2 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Мы нашли два возможных знаменателя прогрессии, что приводит к двум возможным прогрессиям. Нам нужно найти $S_4$.
Формула для $S_4$ такова: $S_4 = S_3 + b_4$. Мы знаем $S_3 = 93$. Найдем $b_4$ для каждого случая.
$b_4 = b_3 \cdot q$. Также $b_3 = b_2 \cdot q = 15q$, значит $b_4 = (15q) \cdot q = 15q^2$.

Случай 1: $q = 5$.
$b_4 = 15 \cdot 5^2 = 15 \cdot 25 = 375$.
$S_4 = S_3 + b_4 = 93 + 375 = 468$.
(Прогрессия в этом случае: 3, 15, 75, 375, ...)

Случай 2: $q = 1/5$.
$b_4 = 15 \cdot (\frac{1}{5})^2 = 15 \cdot \frac{1}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.
$S_4 = S_3 + b_4 = 93 + \frac{3}{5} = 93 + 0,6 = 93,6$.
(Прогрессия в этом случае: 75, 15, 3, 3/5, ...)

Таким образом, для $S_4$ также существует два возможных значения.
Ответ: 468 или 93,6.