Номер 16.20, страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.20. Найдите число членов геометрической прогрессии 3; 6; 12; 24; ..., чтобы значение их суммы было:

1) больше 3066;

2) больше 6000.

Дана геометрическая прогрессия 3; 6; 12; 24; ... Найдем ее основные параметры.

Первый член прогрессии $b_1 = 3$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим в формулу известные значения $b_1 = 3$ и $q = 2$: $S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)$.

Теперь нам нужно найти наименьшее число членов $n$, для которого сумма $S_n$ будет удовлетворять заданным условиям.

1) больше 3066

Составим и решим неравенство, чтобы найти наименьшее натуральное $n$, при котором сумма $S_n$ будет больше 3066: $S_n > 3066$ $3(2^n - 1) > 3066$

Разделим обе части неравенства на 3: $2^n - 1 > 1022$

Прибавим 1 к обеим частям: $2^n > 1023$

Найдем наименьшую степень двойки, которая больше 1023. Мы знаем, что $2^{10} = 1024$. Так как $1024 > 1023$, а $2^9 = 512 < 1023$, то наименьшее натуральное значение $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 10.

Проверим: Для $n=9$, $S_9 = 3(2^9 - 1) = 3(512 - 1) = 3 \cdot 511 = 1533$, что меньше 3066. Для $n=10$, $S_{10} = 3(2^{10} - 1) = 3(1024 - 1) = 3 \cdot 1023 = 3069$, что больше 3066.

Следовательно, необходимо взять как минимум 10 членов прогрессии.

Ответ: 10.

2) больше 6000

Составим и решим неравенство, чтобы найти наименьшее натуральное $n$, при котором сумма $S_n$ будет больше 6000: $S_n > 6000$ $3(2^n - 1) > 6000$

Разделим обе части неравенства на 3: $2^n - 1 > 2000$

Прибавим 1 к обеим частям: $2^n > 2001$

Найдем наименьшую степень двойки, которая больше 2001. $2^{10} = 1024$, что меньше 2001. $2^{11} = 2^{10} \cdot 2 = 1024 \cdot 2 = 2048$, что больше 2001. Следовательно, наименьшее натуральное значение $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 11.

Проверим: Для $n=10$, $S_{10} = 3069$, что меньше 6000. Для $n=11$, $S_{11} = 3(2^{11} - 1) = 3(2048 - 1) = 3 \cdot 2047 = 6141$, что больше 6000.

Следовательно, необходимо взять как минимум 11 членов прогрессии.

Ответ: 11.