Номер 16.27, страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*16.27.

1)

Три числа, значение суммы которых равно 15,6, являются первыми членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии. Найдите значение суммы первых шести членов геометрической прогрессии.

2)

Три числа, значение суммы которых равно 78, являются членами возрастающей геометрической прогрессии и одновременно первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите среди этих чисел большее.

3)

Найдите возрастающую арифметическую прогрессию, если известно, что значение суммы первых десяти ее членов равно 300, а первый, второй и пятый ее члены, кроме того, образуют геометрическую прогрессию.

1)Пусть три числа это $b_1, b_2, b_3$ — первые три члена геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда $b_2 = b_1q$ и $b_3 = b_1q^2$. По условию, их сумма равна 15,6:$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 15,6$Эти же три числа являются вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии. Пусть первый член этой прогрессии равен $a$, а разность равна $d$. Тогда:$b_1 = a_2 = a + d$$b_2 = a_{14} = a + 13d$$b_3 = a_{50} = a + 49d$Для членов геометрической прогрессии выполняется характеристическое свойство: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим выражения через $a$ и $d$:$(a + 13d)^2 = (a + d)(a + 49d)$$a^2 + 26ad + 169d^2 = a^2 + 49ad + ad + 49d^2$$a^2 + 26ad + 169d^2 = a^2 + 50ad + 49d^2$$169d^2 - 49d^2 = 50ad - 26ad$$120d^2 = 24ad$$120d^2 - 24ad = 0$$24d(5d - a) = 0$Это уравнение имеет два возможных решения: $d=0$ или $a=5d$. Рассмотрим оба случая.Случай 1: $d=0$.Арифметическая прогрессия является постоянной, то есть все ее члены равны $a$.Тогда $b_1 = a_2 = a$, $b_2 = a_{14} = a$, $b_3 = a_{50} = a$.Следовательно, $b_1 = b_2 = b_3$, и геометрическая прогрессия также является постоянной со знаменателем $q=1$.Сумма этих трех чисел равна $b_1 + b_1 + b_1 = 3b_1 = 15,6$.Отсюда $b_1 = 15,6 / 3 = 5,2$.Сумма первых шести членов этой геометрической прогрессии $S_6 = 6 \cdot b_1 = 6 \cdot 5,2 = 31,2$.Случай 2: $a=5d$ (при $d \neq 0$).Выразим члены геометрической прогрессии через $d$:$b_1 = a + d = 5d + d = 6d$$b_2 = a + 13d = 5d + 13d = 18d$$b_3 = a + 49d = 5d + 49d = 54d$Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{18d}{6d} = 3$.Сумма первых трех членов равна $6d + 18d + 54d = 78d$. По условию, $78d = 15,6$, откуда $d = \frac{15,6}{78} = 0,2$.Первый член геометрической прогрессии $b_1 = 6d = 6 \cdot 0,2 = 1,2$.Найдем сумму первых шести членов по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$:$S_6 = \frac{1,2(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{1,2(729 - 1)}{2} = 0,6 \cdot 728 = 436,8$.Так как в условии задачи нет ограничений, исключающих один из случаев, существует два возможных ответа.
Ответ: 31,2 или 436,8.

2)Пусть три числа, образующие возрастающую геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3$. Так как прогрессия возрастающая и их сумма (78) положительна, то первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q > 1$.Их сумма равна $b_1 + b_2 + b_3 = 78$.Эти числа также являются первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии. Обозначим ее первый член через $a$, а разность через $d$.$b_1 = a_1 = a$$b_2 = a_3 = a + 2d$$b_3 = a_9 = a + 8d$Так как геометрическая прогрессия возрастающая ($b_1 < b_2 < b_3$), то и члены арифметической прогрессии должны возрастать, следовательно, разность $d > 0$.Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$:$(a + 2d)^2 = a(a + 8d)$$a^2 + 4ad + 4d^2 = a^2 + 8ad$$4d^2 = 4ad$Поскольку $d > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $4d$:$d = a$.Теперь выразим три числа через $a$:$b_1 = a$$b_2 = a + 2a = 3a$$b_3 = a + 8a = 9a$Эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=3$.Их сумма равна $a + 3a + 9a = 13a$.По условию, $13a = 78$, откуда $a = \frac{78}{13} = 6$.Таким образом, искомые числа:$b_1 = 6$$b_2 = 3 \cdot 6 = 18$$b_3 = 9 \cdot 6 = 54$Наибольшее среди этих чисел — 54.
Ответ: 54.

3)Пусть $a_n$ — возрастающая арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Условие "возрастающая" означает, что $d > 0$.Сумма первых десяти членов прогрессии равна 300. Используем формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$:$S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 300$$(2a_1 + 9d) \cdot 5 = 300$$2a_1 + 9d = 60$. (1)Первый ($a_1$), второй ($a_2=a_1+d$) и пятый ($a_5=a_1+4d$) члены этой прогрессии образуют геометрическую прогрессию.По характеристическому свойству геометрической прогрессии:$(a_1 + d)^2 = a_1 (a_1 + 4d)$$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 4a_1d$$d^2 = 2a_1d$$d^2 - 2a_1d = 0$$d(d - 2a_1) = 0$.Так как прогрессия возрастающая, $d>0$. Следовательно, множитель $d$ не равен нулю, и мы можем на него разделить. Остается $d - 2a_1 = 0$, откуда:$d = 2a_1$. (2)Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:1) $2a_1 + 9d = 60$2) $d = 2a_1$Подставим выражение для $d$ из второго уравнения в первое:$2a_1 + 9(2a_1) = 60$$2a_1 + 18a_1 = 60$$20a_1 = 60$$a_1 = 3$.Теперь найдем разность $d$ из второго уравнения:$d = 2a_1 = 2 \cdot 3 = 6$.Мы нашли первый член $a_1=3$ и разность $d=6$. Так как $d=6>0$, прогрессия действительно является возрастающей.Искомая прогрессия задается формулой $a_n = 3 + (n-1) \cdot 6$.
Ответ: Арифметическая прогрессия, у которой первый член равен 3, а разность равна 6.