Номер 16.34, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.34.
1) Найдите значение суммы всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не кратны 5.

2) Найдите значение суммы всех натуральных чисел, больших 100 и не превосходящих 200, которые не кратны 3.

1) Чтобы найти значение суммы всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не кратны 5, мы сначала найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 200, а затем вычтем из нее сумму тех чисел, которые кратны 5.

Сумма всех натуральных чисел от 1 до 200 представляет собой сумму арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = 1$, последний член $a_{200} = 200$, а количество членов $n = 200$.

Формула суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Сумма всех чисел от 1 до 200:

$S_{1-200} = \frac{1 + 200}{2} \cdot 200 = \frac{201}{2} \cdot 200 = 201 \cdot 100 = 20100$.

Теперь найдем сумму натуральных чисел от 1 до 200, которые кратны 5. Эти числа также образуют арифметическую прогрессию: 5, 10, 15, ..., 200. Первый член этой прогрессии $b_1 = 5$, последний член $b_m = 200$. Количество членов $m = 200 / 5 = 40$.

Сумма чисел, кратных 5:

$S_5 = \frac{5 + 200}{2} \cdot 40 = \frac{205}{2} \cdot 40 = 205 \cdot 20 = 4100$.

Искомая сумма равна разности этих двух сумм:

$S = S_{1-200} - S_5 = 20100 - 4100 = 16000$.

Ответ: 16000.

2) Чтобы найти значение суммы всех натуральных чисел, больших 100 и не превосходящих 200, которые не кратны 3, мы сначала найдем сумму всех натуральных чисел от 101 до 200, а затем вычтем из нее сумму тех чисел из этого диапазона, которые кратны 3.

Сумма всех натуральных чисел от 101 до 200 является суммой арифметической прогрессии, где $a_1 = 101$, $a_n = 200$, а количество членов $n = 200 - 101 + 1 = 100$.

Сумма всех чисел от 101 до 200:

$S_{101-200} = \frac{101 + 200}{2} \cdot 100 = \frac{301}{2} \cdot 100 = 301 \cdot 50 = 15050$.

Теперь найдем сумму чисел в диапазоне от 101 до 200, которые кратны 3. Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Первое такое число — это 102 ($3 \cdot 34$), а последнее — 198 ($3 \cdot 66$).

Первый член этой прогрессии $b_1 = 102$, последний $b_m = 198$. Количество членов можно найти как $m = 66 - 34 + 1 = 33$.

Сумма чисел, кратных 3:

$S_3 = \frac{102 + 198}{2} \cdot 33 = \frac{300}{2} \cdot 33 = 150 \cdot 33 = 4950$.

Искомая сумма равна разности этих двух сумм:

$S = S_{101-200} - S_3 = 15050 - 4950 = 10100$.

Ответ: 10100.