Номер 16.28, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.28. В правильном треугольнике провели средние линии и получили четыре правильных треугольника. Если в полученных треугольниках провести средние линии, затем в новых треугольниках еще провести средние линии, то сколько правильных треугольников будет получено?

Для решения этой задачи необходимо последовательно отследить, как изменяется количество треугольников после каждого действия.

Первое действие: в исходном правильном треугольнике проводят средние линии. Проведение средних линий в любом треугольнике делит его на четыре меньших треугольника. Поскольку исходный треугольник является правильным (равносторонним), все четыре полученных треугольника также будут правильными.

Таким образом, после первого шага из одного треугольника мы получаем $1 \times 4 = 4$ треугольника.

Второе действие: «в полученных треугольниках провести средние линии». Это означает, что для каждого из 4 треугольников, полученных на предыдущем шаге, мы повторяем ту же операцию. Каждый из них, в свою очередь, делится на 4 еще меньших треугольника. Общее количество самых маленьких треугольников на этом этапе составит: $4 \times 4 = 16$.

Третье действие: «затем в новых треугольниках еще провести средние линии». Наконец, мы берем 16 треугольников, полученных на предыдущем шаге, и снова проводим в каждом из них средние линии. Итоговое количество самых маленьких правильных треугольников, из которых будет состоять финальная фигура, будет равно: $16 \times 4 = 64$.

Этот процесс можно описать как геометрическую прогрессию. Количество треугольников на каждом шаге умножается на 4. После трех последовательных делений общее количество треугольников будет равно $4^3$.

$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.

Ответ: 64.