Номер 16.21, страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.21. Значение суммы первых трех членов геометрической прогрессии равно 1,4, а значение их произведения равно 0,064.

Найдите $S_5$.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда первые три члена прогрессии равны $b_1$, $b_1q$ и $b_1q^2$.

Согласно условию задачи, сумма первых трех членов равна $1,4$, а их произведение равно $0,064$. Составим систему уравнений:

$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 1,4$

$b_1 \cdot b_1q \cdot b_1q^2 = 0,064$

Рассмотрим второе уравнение:

$b_1^3 q^3 = 0,064$

$(b_1q)^3 = (0,4)^3$

Отсюда следует, что второй член прогрессии $b_2 = b_1q = 0,4$.

Теперь выразим $b_1$ через $q$: $b_1 = \frac{0,4}{q}$. Подставим это выражение в первое уравнение системы, предварительно вынеся $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q + q^2) = 1,4$

$\frac{0,4}{q}(1 + q + q^2) = 1,4$

Разделим обе части уравнения на $0,4$:

$\frac{1 + q + q^2}{q} = \frac{1,4}{0,4} = 3,5$

$\frac{1}{q} + 1 + q = 3,5$

$\frac{1}{q} + q = 2,5$

Умножим обе части на $q$ (поскольку для геометрической прогрессии $q \neq 0$):

$1 + q^2 = 2,5q$

$q^2 - 2,5q + 1 = 0$

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим уравнение на 2:

$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

$q_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии. Это означает, что существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Найдем сумму первых пяти членов $S_5$ для каждого случая.

Случай 1: $q = 2$

Найдем первый член прогрессии: $b_1 = \frac{0,4}{q} = \frac{0,4}{2} = 0,2$.

Сумма первых пяти членов $S_5$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

$S_5 = \frac{0,2(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{0,2(32 - 1)}{1} = 0,2 \cdot 31 = 6,2$.

Случай 2: $q = 0,5$

Найдем первый член прогрессии: $b_1 = \frac{0,4}{q} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$.

Сумма первых пяти членов $S_5$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

$S_5 = \frac{0,8(1 - 0,5^5)}{1 - 0,5} = \frac{0,8(1 - \frac{1}{32})}{0,5} = \frac{0,8(\frac{31}{32})}{0,5} = 1,6 \cdot \frac{31}{32} = \frac{31}{20} = 1,55$.

Так как в условии задачи нет дополнительных ограничений, оба найденных значения являются решением.

Ответ: $6,2$ или $1,55$.