Номер 16.19, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.19. 1) Для геометрической прогрессии ($b_n$) известно, что $S_2 = 4$ и $S_3 = 13$. Найдите $b_1$ и $S_5$.

2) Для геометрической прогрессии ($b_n$) известно, что $S_3 = 42$ и $S_4 = 170$. Найдите $b_1$ и $S_5$.

1)

Пусть $b_n$ – геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n$ связана с $(n-1)$-й суммой и $n$-м членом соотношением $S_n = S_{n-1} + b_n$.
По условию задачи, $S_2 = 4$ и $S_3 = 13$.
Из этого следует, что третий член прогрессии $b_3$ равен:
$b_3 = S_3 - S_2 = 13 - 4 = 9$.
Также нам известны формулы для $S_2$ и $b_3$:
$S_2 = b_1 + b_2 = b_1 + b_1q = b_1(1+q) = 4$
$b_3 = b_1q^2 = 9$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} b_1(1+q) = 4 \\ b_1q^2 = 9 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $b_1 = \frac{4}{1+q}$ (при $q \neq -1$) и подставим во второе:
$\frac{4}{1+q} \cdot q^2 = 9 \implies 4q^2 = 9(1+q) \implies 4q^2 - 9q - 9 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения: $q_1 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$ и $q_2 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.
Рассмотрим оба случая:
1. Если $q=3$, то $b_1 = \frac{4}{1+3} = 1$. Тогда $S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{1(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = \frac{242}{2} = 121$.
2. Если $q=-3/4$, то $b_1 = \frac{4}{1-3/4} = \frac{4}{1/4} = 16$. Тогда $S_5 = \frac{16((-3/4)^5-1)}{-3/4-1} = \frac{16(-\frac{243}{1024}-1)}{-7/4} = \frac{16(-\frac{1267}{1024})}{-7/4} = \frac{-1267/64}{-7/4} = \frac{1267}{64} \cdot \frac{4}{7} = \frac{181}{16}$.
Оба набора значений являются решениями задачи.
Ответ: $b_1=1, S_5=121$ или $b_1=16, S_5=\frac{181}{16}$.

2)

По условию, для геометрической прогрессии $(b_n)$ известно, что $S_3 = 42$ и $S_4 = 170$.
Используя соотношение $S_n = S_{n-1} + b_n$, найдем четвертый член прогрессии $b_4$:
$b_4 = S_4 - S_3 = 170 - 42 = 128$.
Запишем систему уравнений, используя формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$ и $S_3 = b_1(1+q+q^2)$:
$\begin{cases} b_4 = b_1 q^3 = 128 \\ S_3 = b_1(1+q+q^2) = 42 \end{cases}$
Чтобы найти $q$, разделим первое уравнение на второе:
$\frac{b_1 q^3}{b_1(1+q+q^2)} = \frac{128}{42} = \frac{64}{21}$.
$21q^3 = 64(1+q+q^2) \implies 21q^3 - 64q^2 - 64q - 64 = 0$.
Подбором находим целый корень $q=4$:
$21 \cdot 4^3 - 64 \cdot 4^2 - 64 \cdot 4 - 64 = 21 \cdot 64 - 16 \cdot 64 - 4 \cdot 64 - 1 \cdot 64 = 64 \cdot (21-16-4-1) = 0$.
Значит, $q=4$. Теперь найдем $b_1$ из уравнения $b_1 q^3 = 128$:
$b_1 \cdot 4^3 = 128 \implies b_1 \cdot 64 = 128 \implies b_1 = 2$.
Осталось найти $S_5$. Сделаем это через $S_4$:
$S_5 = S_4 + b_5 = S_4 + b_1 q^4 = 170 + 2 \cdot 4^4 = 170 + 2 \cdot 256 = 170 + 512 = 682$.
Ответ: $b_1=2, S_5=682$.