Номер 16.12, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*16.12.

1) Значение суммы первых 85 членов геометрической прогрессии равно 2225. Найдите значение суммы первых 85 членов такой прогрессии, каждый член которой составляет 40% от соответствующего члена данной прогрессии.

2) Значение суммы первых 85 членов геометрической прогрессии равно 8255. Найдите значение суммы первых 85 членов такой прогрессии, каждый член которой составляет 60% от соответствующего члена данной прогрессии.

1)

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \dots, b_{85}, \dots$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

Сумма ее первых 85 членов по условию равна:

$S_{85} = b_1 + b_2 + \dots + b_{85} = 2225$

Рассмотрим новую прогрессию $c_1, c_2, \dots, c_{85}, \dots$, каждый член которой составляет 40% от соответствующего члена данной прогрессии. Это означает, что для любого номера $n$ выполняется равенство:

$c_n = 0.4 \cdot b_n$

Найдем сумму первых 85 членов новой прогрессии, обозначим ее $S'_{85}$:

$S'_{85} = c_1 + c_2 + \dots + c_{85}$

Подставим выражение для членов $c_n$ через $b_n$:

$S'_{85} = (0.4 \cdot b_1) + (0.4 \cdot b_2) + \dots + (0.4 \cdot b_{85})$

Вынесем общий множитель 0.4 за скобки, используя распределительный закон:

$S'_{85} = 0.4 \cdot (b_1 + b_2 + \dots + b_{85})$

Выражение в скобках является суммой первых 85 членов исходной прогрессии, то есть $S_{85}$. Таким образом, получаем:

$S'_{85} = 0.4 \cdot S_{85}$

Подставим известное значение $S_{85} = 2225$:

$S'_{85} = 0.4 \cdot 2225 = 890$

Ответ: 890.

2)

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Пусть дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \dots, b_{85}, \dots$.

Сумма ее первых 85 членов по условию равна:

$S_{85} = b_1 + b_2 + \dots + b_{85} = 8255$

Рассмотрим новую прогрессию $c_1, c_2, \dots, c_{85}, \dots$, каждый член которой составляет 60% от соответствующего члена данной прогрессии:

$c_n = 0.6 \cdot b_n$

Найдем сумму первых 85 членов новой прогрессии, $S'_{85}$:

$S'_{85} = c_1 + c_2 + \dots + c_{85} = (0.6 \cdot b_1) + (0.6 \cdot b_2) + \dots + (0.6 \cdot b_{85})$

Вынесем общий множитель 0.6 за скобки:

$S'_{85} = 0.6 \cdot (b_1 + b_2 + \dots + b_{85})$

Так как выражение в скобках равно $S_{85}$, получаем:

$S'_{85} = 0.6 \cdot S_{85}$

Подставим известное значение $S_{85} = 8255$:

$S'_{85} = 0.6 \cdot 8255 = 4953$

Ответ: 4953.