Номер 16.9, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.9.1) В геометрической прогрессии $b_2 = 1, b_3 = 2$ найдите $\frac{S_{14}}{S_7}$.

2) В геометрической прогрессии $b_3 = 3, b_4 = 1,5$ найдите $\frac{S_9}{S_{18}}$.

1) Дана геометрическая прогрессия, у которой $b_2 = 1$ и $b_3 = 2$. Необходимо найти отношение $\frac{S_{14}}{S_7}$.
Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. По определению, $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2}{1} = 2$.
Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ - первый член прогрессии, $q$ - знаменатель.
Теперь запишем отношение сумм $S_{14}$ и $S_7$:
$\frac{S_{14}}{S_7} = \frac{\frac{b_1(q^{14} - 1)}{q - 1}}{\frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1}}$
Сократим общие множители $b_1$ и $(q-1)$:
$\frac{S_{14}}{S_7} = \frac{q^{14} - 1}{q^7 - 1}$
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя, где $a = q^7$:
$q^{14} - 1 = (q^7)^2 - 1^2 = (q^7 - 1)(q^7 + 1)$
Подставим это выражение в нашу дробь:
$\frac{S_{14}}{S_7} = \frac{(q^7 - 1)(q^7 + 1)}{q^7 - 1} = q^7 + 1$
Теперь подставим найденное значение $q = 2$:
$q^7 + 1 = 2^7 + 1 = 128 + 1 = 129$.
Ответ: 129

2) Дана геометрическая прогрессия, у которой $b_3 = 3$ и $b_4 = 1,5$. Необходимо найти отношение $\frac{S_9}{S_{18}}$.
Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$:
$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{1,5}{3} = \frac{1}{2}$.
Как и в предыдущем задании, запишем отношение сумм, используя формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$\frac{S_9}{S_{18}} = \frac{\frac{b_1(q^9 - 1)}{q - 1}}{\frac{b_1(q^{18} - 1)}{q - 1}}$
Сократим общие множители:
$\frac{S_9}{S_{18}} = \frac{q^9 - 1}{q^{18} - 1}$
Используем формулу разности квадратов для знаменателя, где $a = q^9$:
$q^{18} - 1 = (q^9)^2 - 1^2 = (q^9 - 1)(q^9 + 1)$
Подставим это выражение в нашу дробь:
$\frac{S_9}{S_{18}} = \frac{q^9 - 1}{(q^9 - 1)(q^9 + 1)} = \frac{1}{q^9 + 1}$
Теперь подставим найденное значение $q = \frac{1}{2}$:
$\frac{1}{q^9 + 1} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^9 + 1} = \frac{1}{\frac{1}{512} + 1} = \frac{1}{\frac{1}{512} + \frac{512}{512}} = \frac{1}{\frac{1+512}{512}} = \frac{1}{\frac{513}{512}} = \frac{512}{513}$.
Ответ: $\frac{512}{513}$