Номер 16.25, страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.25. Найдите значение суммы:

1) $2 + 22 + 222 + \dots + 222 \ 222 \ 222;$

2) $5 + 55 + 555 + \dots + 555 \ 555 \ 555;$

3) $8 + 88 + 888 + \dots + 888 \ 888 \ 888.$

1) Обозначим искомую сумму как $S_1 = 2 + 22 + 222 + \dots + 222\,222\,222$. Эта сумма состоит из 9 слагаемых, где каждое следующее слагаемое содержит на одну цифру '2' больше. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S_1 = 2 \times (1 + 11 + 111 + \dots + 111\,111\,111)$.
Найдем сумму в скобках, обозначив её $A$. Эту сумму можно легко вычислить, представив сложение в столбик.Сумма цифр в разряде единиц будет $1 \times 9 = 9$.Сумма цифр в разряде десятков будет $1 \times 8 = 8$.Сумма в разряде сотен — $1 \times 7 = 7$, и так далее до разряда сотен миллионов, где сумма будет $1 \times 1 = 1$.Таким образом, $A = 123\,456\,789$.
Теперь вычислим исходную сумму:
$S_1 = 2 \times 123\,456\,789 = 246\,913\,578$.
Ответ: $246\,913\,578$.

2) Обозначим сумму как $S_2 = 5 + 55 + 555 + \dots + 555\,555\,555$. По аналогии с предыдущим пунктом, вынесем за скобки общий множитель 5:
$S_2 = 5 \times (1 + 11 + 111 + \dots + 111\,111\,111)$.
Сумма в скобках, как мы установили ранее, равна $123\,456\,789$.
Следовательно:
$S_2 = 5 \times 123\,456\,789 = 617\,283\,945$.
Ответ: $617\,283\,945$.

3) Обозначим сумму как $S_3 = 8 + 88 + 888 + \dots + 888\,888\,888$. Вынесем за скобки общий множитель 8:
$S_3 = 8 \times (1 + 11 + 111 + \dots + 111\,111\,111)$.
Сумма в скобках равна $123\,456\,789$.
Вычисляем итоговое значение:
$S_3 = 8 \times 123\,456\,789 = 987\,654\,312$.
Ответ: $987\,654\,312$.