Номер 16.30, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.30. Значение суммы четырех членов геометрической прогрессии равно -40, а значение суммы их квадратов равно 3280. Найдите эту прогрессию.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда первые четыре члена прогрессии: $b_1$, $b_1q$, $b_1q^2$, $b_1q^3$.

Согласно условию задачи, составим систему уравнений:

1) Сумма четырех членов равна -40: $b_1 + b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = -40$.

2) Сумма их квадратов равна 3280: $b_1^2 + (b_1q)^2 + (b_1q^2)^2 + (b_1q^3)^2 = 3280$.

Преобразуем уравнения, вынеся за скобки общие множители:

1) $b_1(1 + q + q^2 + q^3) = -40$. Сгруппируем слагаемые в скобках: $1+q+q^2(1+q) = (1+q)(1+q^2)$.
Получим: $b_1(1+q)(1+q^2) = -40$.

2) $b_1^2(1 + q^2 + q^4 + q^6) = 3280$. Сгруппируем слагаемые в скобках: $1+q^2+q^4(1+q^2) = (1+q^2)(1+q^4)$.
Получим: $b_1^2(1+q^2)(1+q^4) = 3280$.

Итак, мы имеем систему:

$\begin{cases} b_1(1+q)(1+q^2) = -40 & (1) \\ b_1^2(1+q^2)(1+q^4) = 3280 & (2) \end{cases}$

Возведем первое уравнение в квадрат:

$(b_1(1+q)(1+q^2))^2 = (-40)^2$

$b_1^2(1+q)^2(1+q^2)^2 = 1600$ (3)

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (3). Это позволит исключить $b_1$:

$\frac{b_1^2(1+q^2)(1+q^4)}{b_1^2(1+q)^2(1+q^2)^2} = \frac{3280}{1600}$

$\frac{1+q^4}{(1+q)^2(1+q^2)} = \frac{328}{160} = \frac{41}{20}$

Получили уравнение с одной переменной $q$. Решим его:

$20(1+q^4) = 41(1+q)^2(1+q^2)$

$20(1+q^4) = 41(1+2q+q^2)(1+q^2)$

$20+20q^4 = 41(1+q^2+2q+2q^3+q^2+q^4)$

$20+20q^4 = 41(q^4+2q^3+2q^2+2q+1)$

$20+20q^4 = 41q^4+82q^3+82q^2+82q+41$

$21q^4 + 82q^3 + 82q^2 + 82q + 21 = 0$

Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени. Так как $q \ne 0$ (иначе сумма была бы равна $b_1=-40$, а сумма квадратов $b_1^2 = 1600 \ne 3280$), мы можем разделить обе части уравнения на $q^2$:

$21q^2 + 82q + 82 + \frac{82}{q} + \frac{21}{q^2} = 0$

$21(q^2 + \frac{1}{q^2}) + 82(q + \frac{1}{q}) + 82 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = q + \frac{1}{q}$. Тогда $y^2 = q^2 + 2 + \frac{1}{q^2}$, откуда $q^2 + \frac{1}{q^2} = y^2-2$.

$21(y^2-2) + 82y + 82 = 0$

$21y^2 - 42 + 82y + 82 = 0$

$21y^2 + 82y + 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$D = 82^2 - 4 \cdot 21 \cdot 40 = 6724 - 3360 = 3364 = 58^2$

$y_{1,2} = \frac{-82 \pm 58}{2 \cdot 21}$

$y_1 = \frac{-82+58}{42} = \frac{-24}{42} = -\frac{4}{7}$

$y_2 = \frac{-82-58}{42} = \frac{-140}{42} = -\frac{10}{3}$

Теперь вернемся к переменной $q$.

Случай 1: $y = -\frac{4}{7}$

$q + \frac{1}{q} = -\frac{4}{7} \implies 7q^2 + 4q + 7 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D_q = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 16 - 196 = -180 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $y = -\frac{10}{3}$

$q + \frac{1}{q} = -\frac{10}{3} \implies 3q^2 + 10q + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение: $D_q = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$q_{1,2} = \frac{-10 \pm 8}{6}$

$q_1 = \frac{-10-8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$q_2 = \frac{-10+8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Мы нашли два возможных значения для знаменателя прогрессии. Теперь для каждого из них найдем первый член $b_1$ из уравнения (1).

1. Если $q = -3$:
$b_1(1+(-3))(1+(-3)^2) = -40$
$b_1(-2)(10) = -40$
$b_1(-20) = -40$
$b_1 = 2$
Получаем прогрессию: 2, -6, 18, -54.

2. Если $q = -\frac{1}{3}$:
$b_1(1+(-\frac{1}{3}))(1+(-\frac{1}{3})^2) = -40$
$b_1(\frac{2}{3})(1+\frac{1}{9}) = -40$
$b_1(\frac{2}{3})(\frac{10}{9}) = -40$
$b_1(\frac{20}{27}) = -40$
$b_1 = -40 \cdot \frac{27}{20} = -2 \cdot 27 = -54$
Получаем прогрессию: -54, 18, -6, 2.

Обе прогрессии удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 2, -6, 18, -54 или -54, 18, -6, 2.