Номер 16.35, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.35. Постройте график функции:

1) $y = 2x^2 - 3x;$

2) $y = 2x^2 + 5x;$

3) $y = -x^2 + 4x;$

4) $y = -2x^2 - 6x.$

1) $y = 2x^2 - 3x$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=2$, $b=-3$, $c=0$. Графиком является парабола.
1. Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$.
Ордината вершины: $y_v = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} = -\frac{9}{8} = -1.125$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0.75; -1.125)$.
3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y = 2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, имеем уравнение $2x^2 - 3x = 0$, или $x(2x-3)=0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(1.5; 0)$.
4. Для точности построения найдем еще несколько точек.
При $x=-1$, $y = 2(-1)^2 - 3(-1) = 2+3=5$. Точка $(-1; 5)$.
При $x=2$, $y = 2(2)^2 - 3(2) = 8-6=2$. Точка $(2; 2)$.
При $x=3$, $y = 2(3)^2 - 3(3) = 18-9=9$. Точка $(3; 9)$.
5. Построим график, используя найденные точки. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0.75$.

Ответ: График функции построен.

2) $y = 2x^2 + 5x$

Это квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a=2$, $b=5$, $c=0$. Графиком является парабола.
1. Коэффициент $a=2 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4} = -1.25$.
$y_v = 2(-\frac{5}{4})^2 + 5(-\frac{5}{4}) = 2 \cdot \frac{25}{16} - \frac{25}{4} = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
Вершина находится в точке $(-1.25; -3.125)$.
3. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y = 0$. Точка $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $2x^2 + 5x = 0 \implies x(2x+5)=0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$. Точки $(0; 0)$ и $(-2.5; 0)$.
4. Дополнительные точки:
При $x=1$, $y = 2(1)^2 + 5(1) = 7$. Точка $(1; 7)$.
При $x=-1$, $y = 2(-1)^2 + 5(-1) = 2 - 5 = -3$. Точка $(-1; -3)$.
При $x=-3$, $y = 2(-3)^2 + 5(-3) = 18 - 15 = 3$. Точка $(-3; 3)$.
5. Ось симметрии параболы — $x = -1.25$. Строим график.

Ответ: График функции построен.

3) $y = -x^2 + 4x$

Это квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1$, $b=4$, $c=0$. Графиком является парабола.
1. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
$y_v = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$.
Вершина находится в точке $(2; 4)$.
3. Точки пересечения с осями:
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $-x^2 + 4x = 0 \implies -x(x-4)=0$. Корни $x_1=0$ и $x_2=4$. Точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$.
4. Дополнительные точки:
При $x=-1$, $y = -(-1)^2 + 4(-1) = -1 - 4 = -5$. Точка $(-1; -5)$.
При $x=1$, $y = -(1)^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3$. Точка $(1; 3)$.
При $x=5$, $y = -(5)^2 + 4(5) = -25 + 20 = -5$. Точка $(5; -5)$.
5. Ось симметрии параболы — $x=2$. Строим график.

Ответ: График функции построен.

4) $y = -2x^2 - 6x$

Это квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-2$, $b=-6$, $c=0$. Графиком является парабола.
1. Коэффициент $a=-2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-2)} = -\frac{6}{4} = -1.5$.
$y_v = -2(-1.5)^2 - 6(-1.5) = -2(2.25) + 9 = -4.5 + 9 = 4.5$.
Вершина находится в точке $(-1.5; 4.5)$.
3. Точки пересечения с осями:
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $-2x^2 - 6x = 0 \implies -2x(x+3)=0$. Корни $x_1=0$ и $x_2=-3$. Точки $(0; 0)$ и $(-3; 0)$.
4. Дополнительные точки:
При $x=1$, $y = -2(1)^2 - 6(1) = -2 - 6 = -8$. Точка $(1; -8)$.
При $x=-1$, $y = -2(-1)^2 - 6(-1) = -2 + 6 = 4$. Точка $(-1; 4)$.
При $x=-4$, $y = -2(-4)^2 - 6(-4) = -32 + 24 = -8$. Точка $(-4; -8)$.
5. Ось симметрии — прямая $x=-1.5$. Строим график.

Ответ: График функции построен.