Номер 16.39, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.39. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $q$, если:

1) $b_1 = 0,125$, $b_6 = -4;$

2) $b_1 = 81$, $b_6 = -\frac{1}{9}$.

Для нахождения знаменателя $q$ геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

1) Даны значения: $b_1 = 0,125$ и $b_6 = -4$.

Для $n=6$ формула n-го члена принимает вид:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$.

Из этой формулы выразим $q^5$ и подставим заданные значения. Для удобства вычислений представим $0,125$ в виде обыкновенной дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

$q^5 = \frac{b_6}{b_1} = \frac{-4}{1/8} = -4 \cdot 8 = -32$.

Теперь найдем $q$, извлекая корень пятой степени из обеих частей уравнения:

$q = \sqrt[5]{-32}$.

Так как $(-2)^5 = -32$, то значение знаменателя равно -2.

Ответ: $q = -2$.

2) Даны значения: $b_1 = 81$ и $b_6 = -\frac{1}{9}$.

Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой $b_6 = b_1 \cdot q^5$.

Выразим $q^5$ и подставим числовые значения:

$q^5 = \frac{b_6}{b_1} = \frac{-1/9}{81} = -\frac{1}{9 \cdot 81} = -\frac{1}{729}$.

Далее найдем $q$, извлекая корень пятой степени:

$q = \sqrt[5]{-\frac{1}{729}}$.

Поскольку степень корня (5) нечетная, знак "минус" можно вынести за знак корня:

$q = -\sqrt[5]{\frac{1}{729}} = -\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{729}} = -\frac{1}{\sqrt[5]{729}}$.

Можно упростить это выражение. Для этого представим число $729$ в виде степени числа $3$. Так как $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$, получаем:

$q = -\frac{1}{\sqrt[5]{3^6}} = -\frac{1}{\sqrt[5]{3^5 \cdot 3^1}} = -\frac{1}{\sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[5]{3}}$.

Ответ: $q = -\frac{1}{3\sqrt[5]{3}}$.