Номер 17.6, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.6. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь:

1) $3,2(3);$

2) $4,36(13);$

3) $21,00(12);$

4) $33,04(731).$

1) 3,2(3)

Чтобы преобразовать бесконечную периодическую дробь $3,2(3)$ в обыкновенную, обозначим это число через $x$.
$x = 3,2(3) = 3,2333...$
Умножим это уравнение на 10, чтобы часть после запятой стала чисто периодической дробью (то есть период начинался сразу после запятой):
$10x = 32,333...$
Теперь умножим это же уравнение на 100 (или предыдущее на 10), чтобы сдвинуть запятую на один период (состоящий из одной цифры) вправо:
$100x = 323,333...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части:
$100x - 10x = 323,333... - 32,333...$
$90x = 291$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{291}{90}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:
$x = \frac{291 \div 3}{90 \div 3} = \frac{97}{30}$
Эту неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа: $3\frac{7}{30}$.

Ответ: $\frac{97}{30}$

2) 4,36(13)

Обозначим число $4,36(13)$ через $x$.
$x = 4,36(13) = 4,36131313...$
В этой дроби есть непериодическая часть после запятой (36). Умножим уравнение на 100, чтобы период (13) начинался сразу после запятой:
$100x = 436,131313...$
Период состоит из двух цифр, поэтому умножим полученное уравнение еще на 100 (что эквивалентно умножению исходного уравнения на $10000$), чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$10000x = 43613,131313...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$10000x - 100x = 43613,1313... - 436,1313...$
$9900x = 43177$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{43177}{9900}$
Данная дробь является несократимой. Можно представить ее в виде смешанного числа: $4\frac{3577}{9900}$.

Ответ: $\frac{43177}{9900}$

3) 21,00(12)

Обозначим число $21,00(12)$ через $x$.
$x = 21,00(12) = 21,00121212...$
Умножим уравнение на 100, чтобы избавиться от непериодической части (00) после запятой:
$100x = 2100,121212...$
Период (12) состоит из двух цифр, поэтому умножим полученное уравнение еще на 100, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$10000x = 210012,121212...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$10000x - 100x = 210012,1212... - 2100,1212...$
$9900x = 207912$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{207912}{9900}$
Сократим дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 12.
$x = \frac{207912 \div 12}{9900 \div 12} = \frac{17326}{825}$
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $21\frac{1}{825}$.

Ответ: $\frac{17326}{825}$

4) 33,04(731)

Обозначим число $33,04(731)$ через $x$.
$x = 33,04(731) = 33,04731731...$
Умножим уравнение на 100, так как непериодическая часть (04) состоит из двух цифр:
$100x = 3304,731731...$
Период (731) состоит из трех цифр, поэтому умножим полученное уравнение еще на 1000, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$100000x = 3304731,731731...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$100000x - 100x = 3304731,731... - 3304,731...$
$99900x = 3301427$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{3301427}{99900}$
Данная дробь является несократимой. Можно представить ее в виде смешанного числа: $33\frac{4727}{99900}$.

Ответ: $\frac{3301427}{99900}$