Номер 17.12, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.12. Значение произведения первого, третьего и пятого членов бесконечно убывающей прогрессии равно $8$, а значение суммы ее второго и четвертого членов равно ($-5$). Найдите значение суммы всех членов геометрической прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для такой прогрессии выполняется условие $|q| < 1$. Члены прогрессии находятся по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно первому условию, произведение первого, третьего и пятого членов равно 8. Запишем это в виде уравнения: $b_1 \cdot b_3 \cdot b_5 = 8$. Выразим $b_3$ и $b_5$ через $b_1$ и $q$: $b_3 = b_1 q^2$ и $b_5 = b_1 q^4$. Подставив эти выражения в уравнение, получим: $b_1 \cdot (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^4) = 8$, что упрощается до $b_1^3 q^6 = 8$ или $(b_1 q^2)^3 = 2^3$. Отсюда следует первое соотношение: $b_1 q^2 = 2$.

Согласно второму условию, сумма второго и четвертого членов равна -5. Запишем это в виде уравнения: $b_2 + b_4 = -5$. Выразим $b_2$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$: $b_2 = b_1 q$ и $b_4 = b_1 q^3$. Подставив, получим: $b_1 q + b_1 q^3 = -5$, что можно записать как $b_1 q (1 + q^2) = -5$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $b_1 q^2 = 2$ и $b_1 q (1 + q^2) = -5$. Из первого уравнения выразим $b_1 = \frac{2}{q^2}$ (поскольку $b_1 q^2 = 2$, то $q \neq 0$). Подставим это во второе уравнение: $(\frac{2}{q^2}) q (1 + q^2) = -5$. Упрощаем: $\frac{2}{q} (1 + q^2) = -5$, что приводит к квадратному уравнению $2(1 + q^2) = -5q$, или $2q^2 + 5q + 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения: $q_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$ и $q_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Прогрессия является бесконечно убывающей, поэтому должно выполняться условие $|q| < 1$. Из двух найденных корней этому условию удовлетворяет только $q = -0.5$, так как $|-0.5| < 1$, а $|-2| > 1$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ из соотношения $b_1 = \frac{2}{q^2}$: $b_1 = \frac{2}{(-0.5)^2} = \frac{2}{0.25} = 8$.

Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим найденные значения $b_1 = 8$ и $q = -0.5$: $S = \frac{8}{1 - (-0.5)} = \frac{8}{1.5} = \frac{8}{3/2} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$