Номер 17.16, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.16. В квадрат, длина стороны которого равна 8 см, вписан другой квадрат, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата. В полученный квадрат таким же способом вписан другой квадрат и т. д. Найдите значение суммы периметров и значение суммы площадей этих квадратов.

Для решения задачи сначала определим, как связаны размеры последующего вписанного квадрата с предыдущим.

Пусть сторона n-го квадрата равна $a_n$. Вершины $(n+1)$-го квадрата являются серединами сторон n-го квадрата. Если соединить эти вершины, то получится новый квадрат. При этом в углах n-го квадрата образуются четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половине стороны n-го квадрата, то есть $a_n/2$. Гипотенуза этих треугольников является стороной $(n+1)$-го квадрата, $a_{n+1}$.

По теореме Пифагора:

$a_{n+1}^2 = (\frac{a_n}{2})^2 + (\frac{a_n}{2})^2 = 2 \cdot \frac{a_n^2}{4} = \frac{a_n^2}{2}$

Отсюда находим соотношение между сторонами:

$a_{n+1} = \sqrt{\frac{a_n^2}{2}} = \frac{a_n}{\sqrt{2}}$

Это означает, что последовательность длин сторон квадратов $a_1, a_2, a_3, \dots$ образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Исходная сторона первого квадрата $a_1 = 8$ см.

Нахождение суммы периметров

Периметр n-го квадрата равен $P_n = 4a_n$.

Найдем периметр первого квадрата:

$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 8 = 32$ см.

Соотношение между периметрами соседних квадратов:

$P_{n+1} = 4a_{n+1} = 4 \frac{a_n}{\sqrt{2}} = \frac{4a_n}{\sqrt{2}} = \frac{P_n}{\sqrt{2}}$

Последовательность периметров $P_1, P_2, P_3, \dots$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Первый член этой прогрессии $b_1 = P_1 = 32$, а знаменатель $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $|q| < 1$.

Сумма периметров всех квадратов:

$S_P = \frac{32}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{32}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$:

$S_P = \frac{32\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{32\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{32(2+\sqrt{2})}{2-1} = 32(2+\sqrt{2}) = 64 + 32\sqrt{2}$ см.

Ответ: $64 + 32\sqrt{2}$ см.

Нахождение суммы площадей

Площадь n-го квадрата равна $S_n = a_n^2$.

Найдем площадь первого квадрата:

$S_1 = a_1^2 = 8^2 = 64$ см$^2$.

Соотношение между площадями соседних квадратов:

$S_{n+1} = a_{n+1}^2 = (\frac{a_n}{\sqrt{2}})^2 = \frac{a_n^2}{2} = \frac{S_n}{2}$

Последовательность площадей $S_1, S_2, S_3, \dots$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Первый член этой прогрессии $b'_1 = S_1 = 64$, а знаменатель $q' = \frac{1}{2}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Сумма площадей всех квадратов:

$S_A = \frac{64}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{64}{\frac{1}{2}} = 64 \cdot 2 = 128$ см$^2$.

Ответ: $128$ см$^2$.