Номер 17.23, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.23. Найдите корень уравнения:

$1 + \frac{x+1}{x-1} + \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2 + \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^3 + \dots = \frac{x^2}{2}$.

17.23. Левая часть данного уравнения представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$, а ее знаменатель $q = \frac{x+1}{x-1}$.

Сумма такой прогрессии существует (сходится) только при условии, что модуль ее знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Найдем область допустимых значений для $x$, решив это неравенство:

$|\frac{x+1}{x-1}| < 1$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x+1}{x-1} < 1 \\ \frac{x+1}{x-1} > -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\frac{x+1}{x-1} - 1 < 0 \implies \frac{x+1 - (x-1)}{x-1} < 0 \implies \frac{2}{x-1} < 0$. Так как числитель положителен, знаменатель должен быть отрицательным: $x-1 < 0$, откуда $x < 1$.

Решим второе неравенство: $\frac{x+1}{x-1} + 1 > 0 \implies \frac{x+1 + x-1}{x-1} > 0 \implies \frac{2x}{x-1} > 0$. Это неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Пересечение решений обоих неравенств ($x < 1$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$) дает нам итоговую область сходимости ряда: $x < 0$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. В нашем случае:

$S = \frac{1}{1 - \frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{\frac{x-1 - (x+1)}{x-1}} = \frac{1}{\frac{-2}{x-1}} = \frac{x-1}{-2} = \frac{1-x}{2}$.

Теперь приравняем полученную сумму к правой части исходного уравнения:

$\frac{1-x}{2} = \frac{x^2}{2}$

Умножим обе части на 2 и получим квадратное уравнение:

$1-x = x^2$

$x^2 + x - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения по формуле корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие области допустимых значений $x < 0$.

Корень $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} > 0$, так как $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$. Этот корень является посторонним.

Корень $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < 0$, так как является суммой двух отрицательных чисел. Этот корень удовлетворяет условию.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.