Номер 17.24, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.24. Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен 1, а каждый ее последующий член в три раза больше значения суммы следующих за ним членов.

Пусть искомая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $(b_n)$ имеет первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

По условию задачи, первый член прогрессии равен 1, то есть $b_1 = 1$.

Так как прогрессия является бесконечно убывающей, ее знаменатель $q$ должен удовлетворять условию $|q| < 1$.

Основное условие задачи гласит, что каждый член прогрессии в три раза больше значения суммы всех следующих за ним членов. Запишем это условие для произвольного $k$-го члена прогрессии, $b_k$.

Сумма членов, следующих за $b_k$, представляет собой сумму $S_k^* = b_{k+1} + b_{k+2} + b_{k+3} + \dots$. Эта сумма является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_{k+1}$, а знаменатель равен $q$.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{a_1}{1-r}$, где $a_1$ — первый член, $r$ — знаменатель.

Применяя эту формулу, находим сумму членов, следующих за $b_k$:$S_k^* = \frac{b_{k+1}}{1-q}$

Согласно условию задачи, $b_k = 3 \cdot S_k^*$. Подставим в это равенство выражение для $S_k^*$:$b_k = 3 \cdot \frac{b_{k+1}}{1-q}$

Для любой геометрической прогрессии справедливо соотношение $b_{k+1} = b_k \cdot q$. Подставим его в наше уравнение:$b_k = 3 \cdot \frac{b_k \cdot q}{1-q}$

Поскольку $b_1 = 1$ и прогрессия является убывающей, ее члены не равны нулю ($b_k \neq 0$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $b_k$:$1 = \frac{3q}{1-q}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:$1 \cdot (1-q) = 3q$$1 - q = 3q$$1 = 4q$$q = \frac{1}{4}$

Полученное значение знаменателя $q = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$, так как $|\frac{1}{4}| < 1$. Следовательно, прогрессия с таким знаменателем является бесконечно убывающей.

Таким образом, мы нашли знаменатель искомой прогрессии. Первый член нам известен из условия: $b_1=1$. Теперь мы можем полностью описать прогрессию.

Ее члены:$b_1 = 1$$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 1 \cdot (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 1 \cdot (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$и так далее.

Общая формула для $n$-го члена прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} = (\frac{1}{4})^{n-1}$.

Ответ: Искомая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = \frac{1}{4}$. Ее члены задаются формулой $b_n = (\frac{1}{4})^{n-1}$, то есть это последовательность $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \dots$.