Номер 17.28, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.28. Последовательность чисел образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, значение суммы членов которой равно 8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии, если значение суммы кубов ее членов равно $ \frac{512}{37} $.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, модуль её знаменателя должен быть меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Сумма $S$ всех членов такой прогрессии вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$

Согласно условию задачи, эта сумма равна 8. Запишем первое уравнение:$8 = \frac{b_1}{1-q}$ (1)

Теперь рассмотрим последовательность, состоящую из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \ldots$ . Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Её первый член $B_1 = b_1^3$, а её знаменатель $Q = \frac{(b_1q)^3}{b_1^3} = q^3$.Поскольку $|q| < 1$, то и $|Q| = |q^3| = |q|^3 < 1$. Следовательно, новая прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма $S_{куб}$ этой новой прогрессии вычисляется по аналогичной формуле:$S_{куб} = \frac{B_1}{1-Q} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$

По условию, сумма кубов равна $\frac{512}{37}$. Запишем второе уравнение:$\frac{512}{37} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} 8 = \frac{b_1}{1-q} \\ \frac{512}{37} = \frac{b_1^3}{1-q^3} \end{cases}$

Из уравнения (1) выразим $b_1$:$b_1 = 8(1-q)$

Подставим это выражение для $b_1$ в уравнение (2):$\frac{512}{37} = \frac{(8(1-q))^3}{1-q^3} = \frac{8^3(1-q)^3}{1-q^3} = \frac{512(1-q)^3}{1-q^3}$

Разделим обе части уравнения на 512 (это возможно, так как $512 \neq 0$):$\frac{1}{37} = \frac{(1-q)^3}{1-q^3}$

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для знаменателя правой части:$\frac{1}{37} = \frac{(1-q)^3}{(1-q)(1+q+q^2)}$

Поскольку $|q|<1$, то $q \neq 1$, и мы можем сократить дробь на $(1-q)$:$\frac{1}{37} = \frac{(1-q)^2}{1+q+q^2}$

Раскроем скобки и воспользуемся свойством пропорции:$1 \cdot (1+q+q^2) = 37 \cdot (1-q)^2$$1+q+q^2 = 37(1-2q+q^2)$$1+q+q^2 = 37-74q+37q^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$37q^2 - q^2 - 74q - q + 37 - 1 = 0$$36q^2 - 75q + 36 = 0$

Для удобства разделим все коэффициенты на 3:$12q^2 - 25q + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$

Найдем корни:$q_1 = \frac{-(-25) - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{25 - 7}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$q_2 = \frac{-(-25) + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{25 + 7}{24} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$

Вспоминаем условие $|q|<1$. Корень $q_2 = \frac{4}{3}$ не подходит, так как $|\frac{4}{3}| > 1$. Корень $q_1 = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условию, так как $|\frac{3}{4}| < 1$.Таким образом, знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем первый член $b_1$, подставив значение $q$ в выражение $b_1 = 8(1-q)$:$b_1 = 8(1 - \frac{3}{4}) = 8(\frac{4-3}{4}) = 8(\frac{1}{4}) = 2$

Ответ: первый член прогрессии равен 2, знаменатель прогрессии равен $\frac{3}{4}$.