Номер 17.33, страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 17. Формула для вычисления значения суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Глава III. Последовательности. Часть 1 - номер 17.33, страница 157.

Условие рус.

17.33. Найдите значение суммы всех натуральных чисел, кратных 5, заключенных в промежутке от 50 до 150.

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная задача сводится к нахождению суммы членов арифметической прогрессии. Натуральные числа, кратные 5, образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=5$.
Нам нужно найти сумму чисел из этой прогрессии, которые находятся в промежутке от 50 до 150.
Первый член нашей последовательности, который удовлетворяет условию (не меньше 50 и кратен 5), это $a_1 = 50$.
Последний член последовательности, который удовлетворяет условию (не больше 150 и кратен 5), это $a_n = 150$.
Сначала найдем количество членов $n$ в этой последовательности. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$150 = 50 + (n-1) \cdot 5$
Вычтем 50 из обеих частей уравнения:
$100 = (n-1) \cdot 5$
Разделим обе части на 5:
$20 = n-1$
Отсюда находим $n$:
$n = 21$
Таким образом, в заданном промежутке 21 число, кратное 5.
Теперь найдем сумму этих чисел, используя формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения в формулу:
$S_{21} = \frac{50 + 150}{2} \cdot 21$
$S_{21} = \frac{200}{2} \cdot 21$
$S_{21} = 100 \cdot 21$
$S_{21} = 2100$
Сумма всех натуральных чисел, кратных 5, заключенных в промежутке от 50 до 150, равна 2100.
Ответ: 2100