Страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

17.29. Найдите корни уравнения:

1) $\frac{x-6}{x-1} = \frac{13}{6} - \frac{x-1}{x-6}$;

2) $\frac{x-4}{x+2} = \frac{17}{4} - \frac{x+2}{x-4}$.

1) Решим уравнение $\frac{x - 6}{x - 1} = \frac{13}{6} - \frac{x - 1}{x - 6}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$ и $x - 6 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq 6$.
Заметим, что дроби $\frac{x - 6}{x - 1}$ и $\frac{x - 1}{x - 6}$ являются взаимно обратными. Введем замену переменной.
Пусть $y = \frac{x - 6}{x - 1}$, тогда $\frac{x - 1}{x - 6} = \frac{1}{y}$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y = \frac{13}{6} - \frac{1}{y}$
Умножим обе части уравнения на $6y$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии $y \neq 0$, что выполняется, так как числитель $x-6$ не может быть равен нулю, иначе левая часть равна 0, а правая не равна):
$6y^2 = 13y - 6$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$6y^2 - 13y + 6 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 = 5^2$
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
Случай 1: $y = \frac{2}{3}$
$\frac{x - 6}{x - 1} = \frac{2}{3}$
$3(x - 6) = 2(x - 1)$
$3x - 18 = 2x - 2$
$3x - 2x = 18 - 2$
$x_1 = 16$
Случай 2: $y = \frac{3}{2}$
$\frac{x - 6}{x - 1} = \frac{3}{2}$
$2(x - 6) = 3(x - 1)$
$2x - 12 = 3x - 3$
$-12 + 3 = 3x - 2x$
$x_2 = -9$
Оба корня, $16$ и $-9$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq 6$).
Ответ: -9; 16.

2) Решим уравнение $\frac{x - 4}{x + 2} = \frac{17}{4} - \frac{x + 2}{x - 4}$.
ОДЗ: $x + 2 \neq 0$ и $x - 4 \neq 0$. Следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 4$.
Аналогично первому пункту, введем замену переменной.
Пусть $y = \frac{x - 4}{x + 2}$, тогда $\frac{x + 2}{x - 4} = \frac{1}{y}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$y = \frac{17}{4} - \frac{1}{y}$
Умножим обе части на $4y$ (при $y \neq 0$):
$4y^2 = 17y - 4$
$4y^2 - 17y + 4 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$
Выполним обратную замену.
Случай 1: $y = \frac{1}{4}$
$\frac{x - 4}{x + 2} = \frac{1}{4}$
$4(x - 4) = 1(x + 2)$
$4x - 16 = x + 2$
$3x = 18$
$x_1 = 6$
Случай 2: $y = 4$
$\frac{x - 4}{x + 2} = 4$
$x - 4 = 4(x + 2)$
$x - 4 = 4x + 8$
$-12 = 3x$
$x_2 = -4$
Оба корня, $6$ и $-4$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 4$).
Ответ: -4; 6.

17.30. Постройте график функции:

1) $y = x^2 + 2 |x|;$

2) $y = x^2 + 2 |x|;$

3) $y = -x^2 + 4 |x|;$

4) $y = -x^2 - |x|.$

1) y = x^2 + 2|x|

Данная функция $y = x^2 + 2|x|$ является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 2|-x| = x^2 + 2|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить его относительно оси Oy, чтобы получить полный график.

Рассмотрим функцию при $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид:$y = x^2 + 2x$.Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину:$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.Так как $x_0 = -1$ не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$, на этом промежутке функция $y = x^2 + 2x$ является возрастающей.Найдем несколько точек для построения этой части графика:При $x = 0$, $y = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка (0, 0).При $x = 1$, $y = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3$. Точка (1, 3).При $x = 2$, $y = 2^2 + 2 \cdot 2 = 8$. Точка (2, 8).

Теперь построим часть графика для $x \ge 0$. Затем, используя свойство четности, отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить вторую половину для $x < 0$.Точкам (1, 3) и (2, 8) будут соответствовать точки (-1, 3) и (-2, 8). Точка (0, 0) останется на месте.Объединив обе части, мы получаем итоговый график функции.

Ниже представлен график функции $y = x^2 + 2|x|$.

Ответ: График функции построен.

2) y = x^2 + 2|x|

В задании 2) указана та же функция, что и в 1). Вероятно, это опечатка. Будем строить график для функции $y = x^2 - 2|x|$. Эта функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 2|-x| = x^2 - 2|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. Построим график для $x \ge 0$ и отразим его относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция имеет вид:$y = x^2 - 2x$.Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.Вершина находится в точке $x = 1$, которая принадлежит промежутку $x \ge 0$.Найдем координату y вершины: $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина параболы: (1, -1).Найдем точки пересечения с осью Ox: $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$. Точки (0, 0) и (2, 0).

Строим часть графика для $x \ge 0$, которая является частью параболы с вершиной в (1, -1) и проходящей через точки (0, 0) и (2, 0). Затем отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy. Вершина (1, -1) отразится в точку (-1, -1), точка (2, 0) — в точку (-2, 0). График имеет характерную форму, напоминающую букву 'W'.

Ниже представлен график функции $y = x^2 - 2|x|$.

Ответ: График функции построен.

3) y = -x^2 + 4|x|

Функция $y = -x^2 + 4|x|$ является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 + 4|-x| = -x^2 + 4|x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Рассмотрим $x \ge 0$, тогда $|x| = x$ и функция принимает вид:$y = -x^2 + 4x$.Это парабола с ветвями вниз. Найдем ее вершину:$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.$x_0 = 2$ принадлежит промежутку $x \ge 0$.$y_0 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$. Вершина: (2, 4).Точки пересечения с осью Ox: $-x^2 + 4x = 0 \Rightarrow -x(x-4)=0 \Rightarrow x=0, x=4$. Точки (0, 0) и (4, 0).

Строим часть графика для $x \ge 0$ — это дуга параболы с вершиной в (2, 4), проходящая через (0, 0) и (4, 0).Отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy. Вершина (2, 4) отразится в (-2, 4), точка (4, 0) — в (-4, 0).График напоминает букву 'M'.

Ниже представлен график функции $y = -x^2 + 4|x|$.

Ответ: График функции построен.

4) y = -x^2 - |x|

Функция $y = -x^2 - |x|$ является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 - |-x| = -x^2 - |x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Рассмотрим $x \ge 0$, тогда $|x| = x$ и функция принимает вид:$y = -x^2 - x$.Это парабола с ветвями вниз. Найдем ее вершину:$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -1/2$.Вершина $x_0 = -1/2$ не принадлежит промежутку $x \ge 0$. На этом промежутке функция $y = -x^2 - x$ является убывающей.Найдем несколько точек:При $x = 0$, $y = 0$. Точка (0, 0). Это точка максимума для всей функции.При $x = 1$, $y = -1^2 - 1 = -2$. Точка (1, -2).При $x = 2$, $y = -2^2 - 2 = -6$. Точка (2, -6).

Строим часть графика для $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси Oy.Точкам (1, -2) и (2, -6) будут соответствовать точки (-1, -2) и (-2, -6).Объединив обе части, получаем итоговый график.

Ниже представлен график функции $y = -x^2 - |x|$.

Ответ: График функции построен.

17.31. Разложите на множители выражение:

1) $x^4 - 2x^3 + x - 2;$

2) $x^4 - 5x^3 - x + 5;$

3) $x^4 - 2x^3 - x^2 + 2;$

4) $x^4 + 4x^3 - x^2 - 4.$

1) Для разложения выражения $x^4 - 2x^3 + x - 2$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(x^4 - 2x^3) + (x - 2)$

Вынесем общий множитель $x^3$ из первой группы:

$x^3(x - 2) + 1(x - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^3 + 1)$

Выражение в скобках $x^3 + 1$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(x - 2)(x + 1)(x^2 - x + 1)$

Ответ: $(x - 2)(x + 1)(x^2 - x + 1)$.

2) Для разложения выражения $x^4 - 5x^3 - x + 5$ на множители используем метод группировки.

$(x^4 - 5x^3) - (x - 5)$

Вынесем $x^3$ из первой группы и $-1$ из второй:

$x^3(x - 5) - 1(x - 5)$

Вынесем общий множитель $(x - 5)$:

$(x - 5)(x^3 - 1)$

Выражение $x^3 - 1$ является разностью кубов и раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Окончательный вид разложения:

$(x - 5)(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x - 5)(x - 1)(x^2 + x + 1)$.

3) Разложим на множители выражение $x^4 - 2x^3 - x^2 + 2$. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^4 - x^2) - (2x^3 - 2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x^2 - 1) - 2(x^3 - 1)$

Применим формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^2(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)[x^2(x + 1) - 2(x^2 + x + 1)]$

Раскроем скобки и упростим выражение внутри квадратных скобок:

$(x - 1)[x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x - 2] = (x - 1)(x^3 - x^2 - 2x - 2)$

Полученный многочлен третьей степени $x^3 - x^2 - 2x - 2$ не имеет рациональных корней, поэтому дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: $(x - 1)(x^3 - x^2 - 2x - 2)$.

4) Разложим на множители выражение $x^4 + 4x^3 - x^2 - 4$. Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 - x^2) + (4x^3 - 4)$

Вынесем общие множители:

$x^2(x^2 - 1) + 4(x^3 - 1)$

Используем формулы разности квадратов и разности кубов:

$x^2(x - 1)(x + 1) + 4(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)[x^2(x + 1) + 4(x^2 + x + 1)]$

Раскроем скобки и упростим:

$(x - 1)[x^3 + x^2 + 4x^2 + 4x + 4] = (x - 1)(x^3 + 5x^2 + 4x + 4)$

Многочлен $x^3 + 5x^2 + 4x + 4$ не имеет рациональных корней, поэтому он не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $(x - 1)(x^3 + 5x^2 + 4x + 4)$.

17.32. Углы выпуклого четырехугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите значение суммы наименьшего и наибольшего углов этого четырехугольника.

Пусть четыре угла выпуклого четырехугольника $a_1, a_2, a_3, a_4$ образуют арифметическую прогрессию. Без ограничения общности, упорядочим их по возрастанию. Тогда $a_1$ будет наименьшим углом, а $a_4$ — наибольшим.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$. Следовательно, мы можем записать:$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 360^\circ$.

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. В нашем случае количество членов (углов) $n=4$, а их сумма $S_4 = 360^\circ$.

Подставим известные значения в формулу суммы:$S_4 = \frac{a_1 + a_4}{2} \cdot 4$.

Так как $S_4 = 360^\circ$, получаем уравнение:$360^\circ = \frac{a_1 + a_4}{2} \cdot 4$.

Упростим это уравнение:$360^\circ = (a_1 + a_4) \cdot 2$.

Теперь мы можем найти искомое значение суммы наименьшего и наибольшего углов ($a_1 + a_4$):$a_1 + a_4 = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

17.33. Найдите значение суммы всех натуральных чисел, кратных 5, заключенных в промежутке от 50 до 150.

Данная задача сводится к нахождению суммы членов арифметической прогрессии. Натуральные числа, кратные 5, образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=5$.
Нам нужно найти сумму чисел из этой прогрессии, которые находятся в промежутке от 50 до 150.
Первый член нашей последовательности, который удовлетворяет условию (не меньше 50 и кратен 5), это $a_1 = 50$.
Последний член последовательности, который удовлетворяет условию (не больше 150 и кратен 5), это $a_n = 150$.
Сначала найдем количество членов $n$ в этой последовательности. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$150 = 50 + (n-1) \cdot 5$
Вычтем 50 из обеих частей уравнения:
$100 = (n-1) \cdot 5$
Разделим обе части на 5:
$20 = n-1$
Отсюда находим $n$:
$n = 21$
Таким образом, в заданном промежутке 21 число, кратное 5.
Теперь найдем сумму этих чисел, используя формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения в формулу:
$S_{21} = \frac{50 + 150}{2} \cdot 21$
$S_{21} = \frac{200}{2} \cdot 21$
$S_{21} = 100 \cdot 21$
$S_{21} = 2100$
Сумма всех натуральных чисел, кратных 5, заключенных в промежутке от 50 до 150, равна 2100.
Ответ: 2100

17.34. Пусть члены последовательности заданы формулой $a_n = (2n + 1) \cdot 3^n$. Докажите, что значение суммы первых $n$ членов этой последовательности вычисляется по формуле $S_n = n \cdot 3^{n+1}$.

Для доказательства того, что сумма первых $n$ членов последовательности, заданной формулой $a_n = (2n + 1) \cdot 3^n$, вычисляется по формуле $S_n = n \cdot 3^{n+1}$, воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции (проверка для n=1)
Проверим справедливость формулы для $n=1$.
Сумма первого члена последовательности $S_1$ равна самому первому члену $a_1$.
$S_1 = a_1 = (2 \cdot 1 + 1) \cdot 3^1 = (2 + 1) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$.
Теперь вычислим значение $S_1$ по предложенной формуле для суммы:
$S_1 = 1 \cdot 3^{1+1} = 1 \cdot 3^2 = 9$.
Поскольку результаты совпали ($9=9$), формула верна для $n=1$.

2. Индукционное предположение
Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, предположим, что истинно равенство:
$S_k = \sum_{i=1}^{k} a_i = \sum_{i=1}^{k} (2i + 1) \cdot 3^i = k \cdot 3^{k+1}$.

3. Индукционный шаг
Докажем, что если наше предположение верно для $n=k$, то оно будет верно и для следующего натурального числа $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $S_{k+1} = (k+1) \cdot 3^{(k+1)+1} = (k+1) \cdot 3^{k+2}$.
Сумма первых $k+1$ членов последовательности $S_{k+1}$ может быть представлена как сумма первых $k$ членов ($S_k$) плюс $(k+1)$-й член ($a_{k+1}$):
$S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$.
Используя индукционное предположение для $S_k$ и общую формулу для члена $a_{k+1}$, получаем:
$a_{k+1} = (2(k+1) + 1) \cdot 3^{k+1} = (2k + 2 + 1) \cdot 3^{k+1} = (2k + 3) \cdot 3^{k+1}$.
Подставим выражения для $S_k$ и $a_{k+1}$ в формулу для $S_{k+1}$:
$S_{k+1} = (k \cdot 3^{k+1}) + ((2k + 3) \cdot 3^{k+1})$.
Вынесем общий множитель $3^{k+1}$ за скобки:
$S_{k+1} = (k + (2k + 3)) \cdot 3^{k+1}$.
Упростим выражение в скобках:
$S_{k+1} = (3k + 3) \cdot 3^{k+1}$.
Вынесем множитель 3 из скобок:
$S_{k+1} = 3(k+1) \cdot 3^{k+1}$.
Применим свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$S_{k+1} = (k+1) \cdot 3^1 \cdot 3^{k+1} = (k+1) \cdot 3^{k+2}$.
Полученное выражение в точности совпадает с формулой для суммы при $n=k+1$.

Таким образом, мы доказали, что если формула верна для $n=k$, она верна и для $n=k+1$. В сочетании с верностью формулы для базы индукции ($n=1$), по принципу математической индукции, мы заключаем, что формула верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано, что значение суммы первых $n$ членов данной последовательности вычисляется по формуле $S_n = n \cdot 3^{n+1}$.

17.35. При каких значениях $a$, $b$ и $c$ график функции $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $M(1; -3)$ и $N(6; -48)$ и имеет с осью абсцисс одну общую точку?

График функции $y = ax^2 + bx + c$ представляет собой параболу. Для нахождения коэффициентов $a, b, c$ воспользуемся условиями из задачи.

1. График проходит через точку $M(1; -3)$. Это означает, что при подстановке координат $x=1$ и $y=-3$ в уравнение функции мы получим верное равенство:
$a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = -3$
$a + b + c = -3$

2. График проходит через точку $N(6; -48)$. Аналогично подставляем координаты $x=6$ и $y=-48$:
$a \cdot 6^2 + b \cdot 6 + c = -48$
$36a + 6b + c = -48$

3. График имеет с осью абсцисс (осью Ox) одну общую точку. Это означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно один корень. Такое возможно только тогда, когда дискриминант уравнения равен нулю:
$D = b^2 - 4ac = 0$

В результате мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными $a, b, c$:
$\begin{cases} a + b + c = -3 & \text{(1)} \\ 36a + 6b + c = -48 & \text{(2)} \\ b^2 - 4ac = 0 & \text{(3)} \end{cases}$

Решим эту систему. Сначала выразим переменную $c$ из первого уравнения:
$c = -3 - a - b$

Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:
$36a + 6b + (-3 - a - b) = -48$
$35a + 5b - 3 = -48$
$35a + 5b = -45$
Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:
$7a + b = -9$

Из полученного уравнения выразим $b$ через $a$:
$b = -9 - 7a$

Теперь выразим $c$ также через $a$, используя найденное выражение для $b$:
$c = -3 - a - b = -3 - a - (-9 - 7a) = -3 - a + 9 + 7a = 6a + 6$

Мы выразили $b$ и $c$ через $a$. Подставим эти выражения в третье уравнение системы ($b^2 - 4ac = 0$):
$(-9 - 7a)^2 - 4a(6a + 6) = 0$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $a$:
$(81 + 2 \cdot 9 \cdot 7a + 49a^2) - (24a^2 + 24a) = 0$
$81 + 126a + 49a^2 - 24a^2 - 24a = 0$
$25a^2 + 102a + 81 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D_a = 102^2 - 4 \cdot 25 \cdot 81 = 10404 - 100 \cdot 81 = 10404 - 8100 = 2304$
$\sqrt{D_a} = \sqrt{2304} = 48$

Корни уравнения для $a$:
$a_1 = \frac{-102 - 48}{2 \cdot 25} = \frac{-150}{50} = -3$
$a_2 = \frac{-102 + 48}{2 \cdot 25} = \frac{-54}{50} = -\frac{27}{25}$

Мы получили два возможных значения для коэффициента $a$. Для каждого из них найдем соответствующие значения $b$ и $c$.

Рассмотрим первый случай, когда $a = -3$:
$b = -9 - 7a = -9 - 7(-3) = -9 + 21 = 12$
$c = 6a + 6 = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12$
Таким образом, первая тройка коэффициентов найдена.
Ответ: $a = -3, b = 12, c = -12$.

Рассмотрим второй случай, когда $a = -\frac{27}{25}$:
$b = -9 - 7a = -9 - 7(-\frac{27}{25}) = -9 + \frac{189}{25} = -\frac{225}{25} + \frac{189}{25} = -\frac{36}{25}$
$c = 6a + 6 = 6(-\frac{27}{25}) + 6 = -\frac{162}{25} + \frac{150}{25} = -\frac{12}{25}$
Таким образом, найдена вторая тройка коэффициентов.
Ответ: $a = -\frac{27}{25}, b = -\frac{36}{25}, c = -\frac{12}{25}$.

17.36. Докажите, что при $n = 3$ выражение $4^n + 12n - 1$ делится на 3.

Чтобы доказать, что выражение $4^n + 12n - 1$ делится на 3 при $n = 3$, необходимо подставить данное значение $n$ в выражение и проверить, будет ли полученный результат делиться на 3 без остатка.

1. Подставим $n = 3$ в выражение:

$4^3 + 12 \cdot 3 - 1$

2. Вычислим значение полученного выражения, выполняя действия по порядку:

Сначала возводим в степень:

$4^3 = 64$

Затем выполняем умножение:

$12 \cdot 3 = 36$

Теперь выполняем сложение и вычитание:

$64 + 36 - 1 = 100 - 1 = 99$

3. Проверим, делится ли полученное число 99 на 3.

$99 \div 3 = 33$

Поскольку в результате деления 99 на 3 получается целое число 33, то 99 делится на 3 нацело.

Таким образом, мы доказали, что при $n = 3$ выражение $4^n + 12n - 1$ делится на 3.

Ответ: При $n=3$ значение выражения равно $99$, а $99$ делится на $3$ ($99 \div 3 = 33$), что и требовалось доказать.

17.37. Найдите значение суммы $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 11}$.

Для нахождения значения данной суммы, рассмотрим её слагаемые. Сумма имеет вид:

$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 11}$

Знаменатели дробей представляют собой произведения последовательных нечетных чисел. Распишем все слагаемые, которые подразумеваются под многоточием:

$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 11}$

Заметим, что каждую дробь вида $\frac{1}{n(n+2)}$ можно представить в виде разности двух дробей. Для этого воспользуемся следующим тождеством:

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$

Проверим это тождество, приведя правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{n+2 - n}{n(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)}$

Тождество верно. Теперь применим его к каждому слагаемому нашей суммы:

$\frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right)$

$\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)$

$\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right)$

$\frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right)$

$\frac{1}{9 \cdot 11} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right)$

Теперь подставим эти выражения обратно в сумму и вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$S = \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) \right]$

Внутри скобок мы видим, что соседние слагаемые с противоположными знаками взаимно уничтожаются. Этот прием называется телескопическим суммированием.

$S = \frac{1}{2} \left[ 1 - \cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{\frac{1}{3}} - \cancel{\frac{1}{5}} + \cancel{\frac{1}{5}} - \cancel{\frac{1}{7}} + \cancel{\frac{1}{7}} - \cancel{\frac{1}{9}} + \cancel{\frac{1}{9}} - \frac{1}{11} \right]$

После сокращения остаются только первое и последнее слагаемые:

$S = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{11}\right)$

Теперь выполним вычисления:

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{11}{11} - \frac{1}{11}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{11}$

$S = \frac{10}{2 \cdot 11} = \frac{5}{11}$

Ответ: $\frac{5}{11}$.