Номер 17.29, страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.29. Найдите корни уравнения:

1) $\frac{x-6}{x-1} = \frac{13}{6} - \frac{x-1}{x-6}$;

2) $\frac{x-4}{x+2} = \frac{17}{4} - \frac{x+2}{x-4}$.

1) Решим уравнение $\frac{x - 6}{x - 1} = \frac{13}{6} - \frac{x - 1}{x - 6}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$ и $x - 6 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq 6$.
Заметим, что дроби $\frac{x - 6}{x - 1}$ и $\frac{x - 1}{x - 6}$ являются взаимно обратными. Введем замену переменной.
Пусть $y = \frac{x - 6}{x - 1}$, тогда $\frac{x - 1}{x - 6} = \frac{1}{y}$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y = \frac{13}{6} - \frac{1}{y}$
Умножим обе части уравнения на $6y$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии $y \neq 0$, что выполняется, так как числитель $x-6$ не может быть равен нулю, иначе левая часть равна 0, а правая не равна):
$6y^2 = 13y - 6$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$6y^2 - 13y + 6 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 = 5^2$
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
Случай 1: $y = \frac{2}{3}$
$\frac{x - 6}{x - 1} = \frac{2}{3}$
$3(x - 6) = 2(x - 1)$
$3x - 18 = 2x - 2$
$3x - 2x = 18 - 2$
$x_1 = 16$
Случай 2: $y = \frac{3}{2}$
$\frac{x - 6}{x - 1} = \frac{3}{2}$
$2(x - 6) = 3(x - 1)$
$2x - 12 = 3x - 3$
$-12 + 3 = 3x - 2x$
$x_2 = -9$
Оба корня, $16$ и $-9$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq 6$).
Ответ: -9; 16.

2) Решим уравнение $\frac{x - 4}{x + 2} = \frac{17}{4} - \frac{x + 2}{x - 4}$.
ОДЗ: $x + 2 \neq 0$ и $x - 4 \neq 0$. Следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 4$.
Аналогично первому пункту, введем замену переменной.
Пусть $y = \frac{x - 4}{x + 2}$, тогда $\frac{x + 2}{x - 4} = \frac{1}{y}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$y = \frac{17}{4} - \frac{1}{y}$
Умножим обе части на $4y$ (при $y \neq 0$):
$4y^2 = 17y - 4$
$4y^2 - 17y + 4 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$
Выполним обратную замену.
Случай 1: $y = \frac{1}{4}$
$\frac{x - 4}{x + 2} = \frac{1}{4}$
$4(x - 4) = 1(x + 2)$
$4x - 16 = x + 2$
$3x = 18$
$x_1 = 6$
Случай 2: $y = 4$
$\frac{x - 4}{x + 2} = 4$
$x - 4 = 4(x + 2)$
$x - 4 = 4x + 8$
$-12 = 3x$
$x_2 = -4$
Оба корня, $6$ и $-4$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 4$).
Ответ: -4; 6.