Номер 17.27, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.27. Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($b_n$), у которой второй член равен 6, а значение суммы ее членов равно $\frac{1}{8}$ от значения суммы квадратов ее членов.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$, а $q$ — её знаменатель. По определению, для бесконечно убывающей геометрической прогрессии выполняется условие $|q| < 1$.

По условию задачи, второй член прогрессии равен 6. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Таким образом, для второго члена имеем $b_2 = b_1 \cdot q$. Получаем первое уравнение: $b_1 \cdot q = 6$.

Сумма $S$ всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Рассмотрим последовательность квадратов членов данной прогрессии: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \ldots$. Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Её первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Поскольку $|q| < 1$, то и $|q^2| = |q|^2 < 1$, следовательно, эта новая прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма $S_{sq}$ этой новой прогрессии (суммы квадратов) равна: $S_{sq} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$.

По условию задачи, значение суммы ее членов равно $\frac{1}{8}$ от значения суммы квадратов ее членов, то есть $S = \frac{1}{8} S_{sq}$. Подставим формулы для $S$ и $S_{sq}$:

$\frac{b_1}{1-q} = \frac{1}{8} \cdot \frac{b_1^2}{1-q^2}$.

Так как $b_1$ (первый член) не может быть равен нулю (иначе вся прогрессия состояла бы из нулей и $b_2$ не был бы равен 6), мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:

$\frac{1}{1-q} = \frac{b_1}{8(1-q^2)}$.

Используем формулу разности квадратов $1-q^2 = (1-q)(1+q)$:

$\frac{1}{1-q} = \frac{b_1}{8(1-q)(1+q)}$.

Так как $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $(1-q)$:

$1 = \frac{b_1}{8(1+q)}$, откуда получаем второе соотношение: $b_1 = 8(1+q)$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $b_1 \cdot q = 6$ и $b_1 = 8(1+q)$. Подставим выражение для $b_1$ из второго уравнения в первое:

$8(1+q) \cdot q = 6$

$8q + 8q^2 = 6$

$8q^2 + 8q - 6 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$4q^2 + 4q - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения: $q_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4+8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $q_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4-8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $|q| < 1$.

Для $q_1 = \frac{1}{2}$: $|\frac{1}{2}| < 1$. Этот корень подходит.

Для $q_2 = -\frac{3}{2}$: $|-\frac{3}{2}| = \frac{3}{2} > 1$. Этот корень не является решением задачи, так как прогрессия не будет бесконечно убывающей.

Следовательно, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$ из уравнения $b_1 \cdot q = 6$:

$b_1 \cdot \frac{1}{2} = 6$, откуда $b_1 = 6 \cdot 2 = 12$.

Ответ: первый член равен 12, знаменатель равен $\frac{1}{2}$.